（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第41课 数列的递推关系与通项 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第41课数列的递推关系与通项(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P41习题13改编)已知等差数列{an}的公差为d，那么an-am=d.【答案】(n-m)2.(必修5P52公式推导过程改编)在数列{an}中，a1=1，1nnaa=1nn，那么an=.【答案】1n【解析】当n≥2时，an=a1×21aa×32aa×43aa×…×-1nnaa=1×12×23×34×…×-1nn=1n，当n=1时也成立，故an=1n.3.(必修5P41习题13改编)若数列{an}满足a1=1，an=n+an-1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为.【答案】an=(1)2nn【解析】由an=n+an-1可变形为an-an-1=n(n≥2，n∈N*)，由此可写出以下各式：an-an-1=n，an-1-an-2=n-1，an-2-an-3=n-2，…，a2-a1=2，将以上等式两边分别相加，得an-a1=n+(n-1)+(n-2)+…+2，所以an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=(1)2nn.4.(必修5P67复习题5改编)在等差数列{an}中，a1=1，d=2，Sn+2-Sn=24，则n=.【答案】5【解析】因为a1=1，d=2，所以Sn=n2，Sn+2-Sn=(n+2)2-n2=24，解得n=5.5.(必修5P63阅读改编)在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，an，an+1，an+2的关系是.【答案】an+2=an+an+111.递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1，an+k-2，…，an)称为数列的递推关系.由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列.(2)求递推数列通项公式的常用方法：迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法.2.数列递推关系的几种常见类型(1)形如an--1na=f(n)(n∈N*且n≥2)方法：累加法，即当n∈N*，n≥2时，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.(2)形如-1nnaa=f(n)(n∈N*且n≥2)方法：累乘法，即当n∈N*，n≥2时，an=-1nnaa·-1-2nnaa·…·21aa·a1.注意：n=1不一定满足上述形式，所以需检验.(3)形如an=pan-1+q(n∈N*且n≥2)方法：化为an+-1qp=p-1-1nqap的形式.令bn=an+-1qp，即得bn=pbn-1，{bn}为等比数列，从而求得数列{an}的通项公式.(4)形如an=pan-1+f(n)(n∈N*且n≥2)方法：两边同除pn，得nnap=-1-1nnap+()nfnp，令bn=nnap，得bn=bn-1+()nfnp，转化为利用叠加法求bn（若()nfnp为常数，则{bn}为等差数列），从而求得数列{an}的通项公式.【要点导学】要点导学各个击破2利用“累乘、累加”法求通项例1在数列{an}中，已知a1=1，an+1=1nnana，求an.【思维引导】对递推关系的两边取倒数，可以得到111nnaa与之间的递推关系.运用累加法，先求出数列1na的通项公式，再求出数列{an}的通项公式，这体现了转化思想的运用.【解答】原式可化为11na-1na=n，所以1na--11na=n-1，-11na--21na=n-2，…，21a-11a=1，累加得1na-11a=(n-1)+(n-2)+…+1，所以1na=(-1)2nn+1，所以an=22-2nn.【精要点评】求数列的通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除叠加、迭代、累乘外，还应注意配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列，然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.求得通项公式时，还可根据递推公式写出前几项，由此来猜测归纳出通项公式，然后再证明.变式1(2015·江苏卷)设数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1(n∈N*)，则数列1na的前10项和为.【答案】20113【解析】因为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=(1)2nn，所以1na=2(1)nn=211-1nn，所以101n1na=211-2+11-23+…+11-1011=2011.变式2(1)已知在数列{an}中，a1=1，an+1=2nan，求其通项公式；(2)在数列{an}中，已知a1=1，an+1=12an+1，求其通项公式.【解答】(1)由an+1=2nan，得an=2n-1an-1=2n-1·2n-2·an-2=…=2n-1·2n-2·…·21a1=2(n-1)+(n-2)+…+1·a1=(-1)22nn.(2)因为an+1=12an+1，所以an+1-2=12(an-2)，所以{an-2}是首项为a1-2=-1，公比为12的等比数列，所以an-2=-1·-112n，所以an=2--112n.构造等差、等比数列求通项例2已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若数列{an}是等比数列，满足2a1+a3=3a2，a3+2是a2，a4的等差中项，求数列{an}的通项公式；(2)是否存在等差数列{an}，使对任意n∈N*都有an·Sn=2n2(n+1)?若存在，请求出所有满足条件的等差数列...