2.4.2抛物线的几何性质[基础达标]1．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．解析：当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，∴m＝8，此时抛物线方程为y2＝8x；当m<0时，准线方程为x＝－＝4，∴m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.答案：y2＝8x或y2＝－16x2．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．解析：设抛物线方程为y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⇒y－y＝2p(x1－x2)，即·(y1＋y2)＝2p⇒2p＝1×4⇒p＝2.故y2＝4x.答案：y2＝4x3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则|OA|＝________.解析：如图，过A作AD⊥x轴于D.在Rt△AFD中，∠AFD＝60°.令FD＝m，则FA＝2m.AD＝m.根据抛物线的定义可知．p＋m＝2m.∴m＝p.∴|OA|＝＝＝p.答案：p4．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为________．解析：依题意，设点M(x，y)，其中x>0，则有，由此解得x＝1，又该抛物线的准线方程为x＝－，结合抛物线的定义，点M到该抛物线的焦点的距离等于1＋＝.答案：5．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．解析：直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x2－10x＋9＝0，解得，和，∴AP＝10，BQ＝2，PQ＝8，∴梯形APQB的面积为48.答案：486.如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(－1，－1)，代入抛物线方程得p＝，抛物线x2＝－y，代入点(x，－2)，得x＝，即水池半径最小为r＝(1＋)m，水池直径最小为2r＝(2＋2)m.1答案：2＋27．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点F，直线l：x＝，∴A、B两点坐标为，，∴AB＝2|p|. △OAB的面积为4，∴··2|p|＝4，∴p＝±2.∴抛物线的标准方程为y2＝±4x.8.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．证明：设kAB＝k(k≠0)， 直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)， 直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0. A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．∴4·xB＝，即xB＝，以－k代换xB中的k，得xC＝，∴kBC＝＝＝＝＝－，∴直线BC的斜率为定值．[能力提升]1．等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O是抛物线的顶点，OA⊥OB，则△OAB的面积为________．解析：设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2，由OA＝OB，则x＋y＝x＋y，∴x－x＋2px1－2px2＝0，即(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0， x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，即A、B关于x轴对称．故直线OA的方程为：y＝xtan45°，即y＝x.由，解得，(舍)或，故AB＝4p，等腰三角形OAB的面积为×2p×4p＝4p2.答案：4p22．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中能得出抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)；对于③，由焦半径公式r＝1＋＝6，∴p＝10，此时y2＝20x，不符合条件；对于④，2p＝5，此时y2＝5x，不符合题意；对于⑤，设焦点为，则由题意，满足·＝－1.2解得p＝5，此时y2＝10x，所以②⑤能使抛物线方程为y2＝10x.答案...
