课时训练16空间向量的正交分解及其坐标表示1.下列说法正确的是().A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C.单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底答案:C2.下列说法中正确的是().A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的单位正交基底B.空间的基底有且只有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等答案:C3.点M(-1,3,-4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是().A.(-1,3,0),(-1,0,-4),(0,3,-4)B.(0,3,-4),(-1,0,-4),(0,3,-4)C.(-1,3,0),(-1,3,-4),(0,3,-4)D.(0,0,0),(-1,0,0),(0,3,0)答案:A4.若向量,,的起点与终点互不重合且无三点共线,则下列关系(O是空间任一点)中,能使向量,,成为空间的一个基底的是().A.B.C.D.=2答案:C解析:A中点M,A,B,C共面;B,D中,,可能共面,故选C.5.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为().A.B.C.D.答案:A解析:如图,由已知=()1==[()+()]=,从而x=y=z=.6.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是().A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)答案:A解析:依题意知p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10).7.设命题p:{a,b,c}为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则p是q的条件.答案:充分不必要解析:若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面,故a,b,c中一定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底.8.在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面),连接对应顶点.设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基底{a,b,c}表示向量的结果是.答案:a+b+c解析:如图,=()+()==b+(a+b)+(a+c)=a+b+c.9.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别是BB1和DC的中点,试找一空间的基底,并写出向量,,在此基底下的坐标.2解:易知{,,}为空间的一个基底.=-,所以的坐标为.=-,所以的坐标为.,所以的坐标为.10.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.(1)判断P,A,B,C四点是否共面;(2)能否以{,,}作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.解:(1)假设四点共面,则存在实数x,y,z使=x+y+z,且x+y+z=1,即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得与x+y+z=1矛盾,故四点不共面.(2)若向量,,共面,则存在实数m,n使=m+n,同(1)可证,这不可能,因此{,,}可以作为空间的一个基底.令=a,=b,=c.由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,联立得到方程组,从而解得所以=17-5-30.3
