（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第42课 数列的求和 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第42课数列的求和(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P57例3改编)数列112，214，318，4116，…的前n项和为.【答案】(1)2nn+1-12n【解析】Sn=(1+2+3+…+n)+（12+14+18+…+12n）=(1)2nn+1-12n.2.(必修5P55练习4改编)求和：10k1(2)kk=.【答案】2101【解析】1+2+…+10=55，2+22+…+210=2046.所以101k(k+2k)=2101.3.(必修5P68复习题2改编)已知数列{an}的通项公式为an=11nn，那么数列{an}的前n项和为.【答案】1n-14.(必修5P68复习题13改编)数列1(1)nn的前n项和Sn=.【答案】1nn【解析】1(1)nn=1n-11n，Sn=1-11n=1nn.15.(必修5P68复习题12改编)数列1(1)2nn的前n项和Tn=.【答案】3-32nn【解析】由an=(n+1)·12n，得Tn=2×12+3×212+4×312+…+(n+1)12n①，12Tn=2×212+3×312+4×412+…+(n+1)×112n②，由①-②，得12Tn=1+212+312+…+12n-(n+1)·112n=1+-1111-4211-2n-(n+1)·112n=32-132nn.所以Tn=3-32nn.1.常用的一般数列的求和方法(1)公式法：若可以判断出所求数列是等差或等比数列，则可以直接利用公式进行求和.若数列不是等差数列，也不是等比数列，有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和.(2)分组转化法：把数列的每一项拆成两项的差(或和)，或把数列的项重新组合，使其转化为等差或等比数列.(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差(或和)，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾两项或少数几项的和(差).(4)倒序相加法：把Sn中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的Sn相加.这种方法体现了“补”的思想，等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的.事实上，如果一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来，那么这样的数列就可以用倒序相加法求和.(5)错位相减法：数列{anbn}的求和问题应用此法，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列.22.几种常见类型的处理(1)形如an±bn的形式方法：分组求和法.(2)形如1()nnaad或1ndn等形式方法：采用裂项相消法.(3)形如anbn的形式(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)方法：采用错位相减法.(4)首尾对称的两项和为定值的形式方法：倒序相加法.(5)正负交替出现的数列形式方法：并项相加法.【要点导学】要点导学各个击破利用“分组转化法”求和例1已知数列{an}的前n项和Sn=22nn，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=2na+(-1)nan，求数列{bn}的前2n项和.【思维引导】(1)由Sn求an，需利用an=Sn-Sn-1(n≥2)，最后要注意验证第一项是否符合公式；(2)由(1)可知bn为2n与(-1)n·n两数列之和，故采用分组求和的方法求解.【解答】(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式.所以数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)得bn=2n+(-1)n·n，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n=(21+22+…+22n)+[-1+2-3+4-…-(2n-1)+2n]=22n+1-2+n.3【精要点评】本题中bn是由一个摆动数列、一个等比数列相加而成，适用于分组求和，当一个数列是由两个不同类型的数列相加而成时，我们将它们分组、分别求和.变式(2015·福建卷)在等差数列{an}中，已知a2=4，a4+a7=15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=-22na+n，求b1+b2+b3+…+b10的值.【解答】(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得1114(3)(6)15adadad，，解得131.ad，所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10)=102(1-2)1-2+(110)102=(211-2)+55=211+53=2101.例2(2014·苏州暑假调查)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*满足2Sn=an(an+1)，且an≠0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设cn=-11321nnaann，为奇数，，为偶数，求数列{cn}的前2n项和T2n.【解答】(1)因为2Sn=an(an+1)，①所以当n≥2时，2Sn-1=an-1(an...