2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示2.3.2空间向量基本定理课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有()A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面解析：由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B、C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的，故D错．答案：A2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2bB．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－cD．c，a＋c，a－c解析：不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝(2a)＋(－2)(a－b)，三个向量共面；B中，b＋2a＝(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三个向量共面；只有C中的三个向量不共面．答案：C3.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA＝a，PB＝b，PC＝c，则BE等于()A.a－b＋cB.a－b－cC.a－b＋cD.a－b＋c解析：BE＝PE－PB＝PD－PB＝(PA＋AD)－PB＝(PA＋BC)－PB＝(PA＋PC－PB)－PB＝PA－PB＋PC＝a－b＋c.故选C.答案：C4．正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO1，AO2，AO3}为基底，AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1B．x＝y＝z＝C．x＝y＝z＝D．x＝y＝z＝2解析：AC′＝AB＋BC′＝AB＋BB′＋B′C′＝AB＋AA′＋AD＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AA′＋AD)＝AC＋AB′＋AD′＝AO1＋AO2＋AO3，对比AC′＝xAO1＋yAO2＋zAO3得x＝y＝z＝1.答案：A二、填空题(每题5分，共10分)5．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则DE＝________.(用a，b，c表示)解析：DE＝DA1＋A1E＝AA1＋(A1B1＋A1C)＝AA1＋(AB＋AC－AA1)＝c＋(a＋b－c)＝a＋b答案：a＋b6．我们称(x，y，z)是向量p＝xa＋yb＋zc关于基底{a，b，c}的坐标，则向量m＝2a－b－3c的相反向量关于基底{a，b，c}的坐标为________．解析：－m＝－2a＋b＋3c，∴坐标为(－2,1,3)．答案：(－2,1,3)三、解答题(每小题10分，共20分)7.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中．求DO，A1B的坐标．解析：设x、y、z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则OA＝4i，OB＝2j，OO1＝4k，∴OD＝OO1＋O1D＝OO1＋(O1A1＋O1B1)＝O1A1＋O1B1＋OO1＝OA＋OB＋OO1＝2i＋j＋4k，∴DO＝－OD＝－2i－j－4k，∴DO＝(－2，－1，－4)，1A1B＝OB－OA1＝OB－(OA＋AA1)＝OB－OA－AA1＝OB－OA－OO1＝－4i＋2j－4k，∴A1B＝(－4,2，－4)．28.如图所示，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：BF、BE、AE、EF.解析：连接BO，则BF＝BP＝(BO＋OP)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.BE＝BC＋CE＝－a＋CP＝－a＋(CO＋OP)＝－a－b＋c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.EF＝CB＝OA＝a.☆☆☆9.(10分)如图所示，已知正四面体的棱长为1，点E、F分别是OA、BC的中点，选择适当的基底：(1)表示EF，并求出|EF|；(2)计算EF·AC，并求出〈EF，AC〉．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝，∴a·b＝a·c＝b·c＝.(1)EF＝OF－OE＝(OB＋OC)－OA＝－a＋b＋c＝－(a－b－c)则有|EF|＝＝＝＝；(2)∵AC＝OC－OA＝c－a＝－(a－c)∴EF·AC＝(a－b－c)·(a－c)＝(a2＋c2－a·b＋b·c－2a·c)＝＝.则有cos〈EF，AC〉＝＝＝，∵〈EF，AC〉∈[0，π]，∴〈EF，AC〉＝.3
