第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且⃗AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)解析 a=(-3,4,12),且⃗AB=2a,∴⃗AB=(-6,8,24), A(1,-2,0),∴B=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.答案D2.(多选题)下列各组两个向量中,平行的有()A.a=(1,-2,3),b=(1,2,1)B.a=(0,-3,3),b=(0,1,-1)C.a=(0,-3,2),b=0,1,-32D.a=1,-12,3,b=(-2,1,-6)解析对于B,有a=-3b,故a∥b;对于D,有b=-2a,故a∥b;而对A,C中两向量,不存在实数λ,使a=λb,故不平行.答案BD3.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量⃗AB与⃗AC的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析由已知得⃗AB=(0,3,3),⃗AC=(-1,1,0),因此cos<⃗AB,⃗AC>=⃗AB·⃗AC|⃗AB|·|⃗AC|=33√2×√2=12,所以向量⃗AB与⃗AC的夹角为60°.答案C4.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=()A.√7B.2√2C.3D.√10解析 a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),∴a+b=(3,0,-1),∴|a+b|=√32+02+(-1)2=√10.故选D.答案D5.已知空间三点A(-2,2,1),B(-1,1,-2),C(-4,0,2),若向量3⃗AB−⃗AC与⃗AB+k⃗AC垂直,则k的值为()A.1B.2C.3D.4解析 A(-2,2,1),B(-1,1,-2),C(-4,0,2),∴⃗AB=(1,-1,-3),⃗AC=(-2,-2,1), 向量3⃗AB−⃗AC与⃗AB+k⃗AC垂直,则(3⃗AB−⃗AC)·(⃗AB+k⃗AC)=3⃗AB2+(3k-1)⃗AB·⃗AC-k⃗AC2=0,即3×11-3×(3k-1)-9k=0,36-18k=0,解得k=2,故选B.答案B6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=.解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.答案-87.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.解(1)因为a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以(a+c)与(b+c)所成角θ的余弦值cosθ=5-12+3√38×√38=-219.8.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,点O是AC与BD的交点,PO=1,点M是PC的中点.设⃗AB=a,⃗AD=b,⃗AP=c.(1)用向量a,b,c表示⃗BM.(2)在如图的空间直角坐标系中,求⃗BM的坐标.解(1) ⃗BM=⃗BC+⃗CM,⃗BC=⃗AD,⃗CM=12⃗CP,⃗CP=⃗AP−⃗AC,⃗AC=⃗AB+⃗AD,∴⃗BM=⃗AD+12¿)=⃗AD+12⃗AP−12¿)=-12⃗AB+12⃗AD+12⃗AP=-12a+12b+12c.(2)a=⃗AB=(1,0,0),b=⃗AD=(0,1,0). A(0,0,0),O12,12,0,P12,12,1,∴c=⃗AP=⃗OP−⃗OA=12,12,1,∴⃗BM=-12a+12b+12c=-12×(1,0,0)+12×(0,1,0)+12×12,12,1=-14,34,12.能力提升练1.已知空间向量⃗OA=(x,y,8),⃗OB=(z,3,4),⃗OA∥⃗OB,且|⃗AB|=5√2,则实数z的值为()A.5B.-5C.5或-5D.-10或10解析因为⃗OA∥⃗OB,所以存在λ∈R,使得⃗OA=λ⃗OB,又|⃗AB|=5√2,而⃗AB=⃗OB−⃗OA=(z-x,3-y,-4),则{x=λz,y=3λ,8=4λ,(z-x)2+(3-y)2+(-4)2=50,解得{x=10,y=6,z=5,λ=2,或{x=-10,y=6,z=-5,λ=2.故选C.答案C2.(多选题)下列各组向量中共面的有()A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)解析A.设a=xb+yc,则{1=3x+4y,2=0·x+2y,3=2x+5y,解得{x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.B中b=-2c,C中c=a-b.故BC中三个向量也共面.答案ABC3.已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3),若|⃗PQ|=3|⃗MN|,且⃗PQ∥⃗MN,则⃗MN的坐标为,点Q的坐标为.解析由已知得⃗MN=(1,1,1),设Q(x,y,z),则⃗PQ=(x+1,y-2,z+3),由题意,得{√(x+1)2+(y-2)2+(z+3)2=3√12+12+12,x+1=y-2=z+3,解得{x=-4,y=-1,z=-6,或{x=2,y=5,z=0.故点Q坐标为(-4,-1,-6)或(2,5,0).答案(1,1,1)(-4,-1,-6)或(2,5,0)4.如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,N是AA1的中点.(1)求⃗BN的模;(2)求cos<⃗BA1,⃗CB1>的值.解如图,以C为原点,分别以⃗CA,⃗CB,⃗CC1为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).∴|⃗BN|=√(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=√3.(2)依题意得A1(1,0,2)...
