3.1.5空间向量的数量积[基础达标]对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)．①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；④若a·b＝a·c，则b＝c.解析：①中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0.③中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.④中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.答案：②已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．解析：因为a与2b－a互相垂直，所以a·(2b－a)＝0.即2a·b－a2＝0.所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，所以cos〈a，b〉＝，所以a与b的夹角为45°.答案：45°已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________．解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13.答案：已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝__________．解析：|2e1－e2|2＝4e－4e1·e2＋e＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e1－e2|＝.答案：若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为__________．解析：a·c＝a·[a－()b]＝a·a－()b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c.答案：90°已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析： a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案：－13已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．解析：cos〈a，b〉＝， 夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0，且a，b不共线，∴3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.答案：x<－4设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为__________．解析：a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，∴|a＋b|＝，|c|＝1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cosθ＝1－cosθ.故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.答案：1－如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，计算：(1)EF·BA；(2)EF·DC.解：(1)EF·BA＝BD·BA＝|BD|·|BA|cos〈BD，BA〉＝×1×1×cos60°＝.(2)EF·DC＝BD·DC1＝|BD|·|DC|cos〈BD，DC〉＝×1×1×cos120°＝－.已知如图所示的空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.证明：由线段中点公式得：OG＝(OM＋ON)＝[OA＋(OB＋OC)]＝(OA＋OB＋OC)，又BC＝OC－OB，∴OG·BC＝(OA＋OB＋OC)·(OC－OB)＝(OA·OC＋OB·OC＋|OC|2－OA·OB－|OB|2－OC·OB)＝(OA·OC－OA·OB＋|OC|2－|OB|2)， OA·OC＝|OA||OC|·cos∠AOC，OA·OB＝|OA||OB|·cos∠AOB，且|OC|＝|OB|＝|OA|，∠AOB＝∠AOC，∴OG·BC＝0，即OG⊥BC.[能力提升]已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．解析：法一：由已知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，由此可知|a＋b|＝.将(a－c)·(b－c)＝0展开得a·b－a·c－c·b＋c2＝0.设a＋b与c的夹角为θ，则|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|·cosθ，即|c|＝cosθ.故当cosθ＝1时，|c|取最大值.法二：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又因为a⊥b，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对角线．当c是直径时，|c|达到最大值，此时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值为.法三：因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以以a，b为基底建立直角坐标系，a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)．由(a－c)·(b－c)＝0得(1－x)(－x)－y(1－y)＝0，所以x2＋y2＝x＋y≤，从而≤，当且仅当x＝y＝1时取等号．又|c|＝，故|c|的最大值为.答案：在△ABC中，已知AB＝(2，4，0)，BC＝(－1，3，0)，则∠ABC＝__________．解析： BA＝(－2，－4，0)，BC＝(－1，3，0)，∴BA·BC＝2－12＋0＝－10，|BA|＝＝2，|BC|＝.∴cos〈BA，BC〉＝＝＝－.∴∠ABC＝135°.答案：135°如图，...
