高中数学4.1.2问题探索——求作抛物线的切线同步精练湘教版选修2-21．若f(x)＝3x，则f(x)在x＝1处的切线的斜率是()．A．0B．1C．2D．32．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值是()．A．1B．C．－D．－13．过点P(2,5)的曲线y＝x2＋1的切线方程是()．A．x－4y－3＝0B．4x－y－3＝0C．3x－y－4＝0D．x－y－3＝04．双曲线y＝在点P处的切线方程是()．A．4x＋y＋4＝0B．x＋4y＋4＝0C．4x＋y－4＝0D．x＋4y－4＝05．过点Q(3,5)，且与曲线y＝x2相切的直线方程是()．A．y＝2x－1或y＝10x－25B．y＝2x－1C．y＝10x－25D．y＝2x＋1或y＝10x＋256．抛物线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线斜率k是________．7．曲线f(x)＝x3在点P(2,8)处的切线方程是______．8．点P是抛物线y＝x2上一点，若过点P的切线与直线y＝－x＋1垂直，则切线方程是____________．9．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．10．已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程．(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？1参考答案1．Dd趋于0时，趋于3.2．A设f(x)＝ax2，则＝＝da＋2a.当d趋于0时，da＋2a趋于2a，∴2a＝2，∴a＝1.3．B∵点P(2,5)在抛物线y＝x2＋1上，∴＝d＋4，∴当d趋于0时，d＋4趋于4，∴所求切线的方程是y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0.4．C∵点P在双曲线y＝上，∴＝，∴当d趋于0时，趋于－4，∴切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.5．A∵Q(3,5)不在抛物线y＝x2上，∴设所求切线的切点为A(x0，x)．又＝2x0＋d，∴当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0，∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝5.∴A(1,1)或A(5,25)．∴所求切线的斜率为2或10，所求切线的方程是y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1或y＝10x－25.6．7∵A(2,10)在抛物线f(x)＝x2＋3x上，∴＝＝7＋d，当d趋于0时，7＋d趋于7.∴k＝7.7．y＝12x－16∵P(2,8)在曲线f(x)＝x3上，∴＝＝12＋6d＋d2.∴当d趋于0时，12＋6d＋d2趋于12，∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16.8．y＝2x－1设P(x0，x)，则＝2x0＋d，∴当d趋于0时，2x0＋d趋于2x0.又切线与直线y＝－x＋1垂直，∴2x0×(－)＝－1，∴x0＝1.∴P(1,1)，k＝2，∴过点P的切线方程是y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.9．解：(1)由得x2＋4＝10＋x，即x2－x－6＝0.∴x＝－2或x＝3.代入直线的方程得y＝8或y＝13，∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．(2)设抛物线上任意一点M(x，x2＋4)，再另任取一点N(x＋d，(x＋d)2＋4)(d≠0)．则kMN＝＝2x＋d.当d趋于0时，kMN趋于2x，即在点M(x，x2＋4)处的切线斜率为2x.∴在点(－2,8)处的切线的斜率为－4，在点(3,13)处的切线的斜率为6.2∴切线方程为y－8＝－4(x＋2)和y－13＝6(x－3)，即4x＋y＝0和6x－y－5＝0.10．解：(1)将x＝1代入y＝x3得y＝1，∴切点为P(1,1)．又＝3＋3d＋d2，∴当d趋于0时，3＋3d＋d2趋于3，∴k＝3，∴在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)由得x1＝1，x2＝－2，∴公共点为P1(1,1)，P2(－2，－8)，说明切线与曲线C的公共点除了切点P1(1,1)外，还有另外的一点P2(－2，－8)．3
