第二课时数列的性质和递推公式1.已知数列{an}满足a1=,an=2an-1+1(n>1),那么a4等于(B)(A)5(B)11(C)23(D)8解析:由已知可得a2=2a1+1=2,a3=2a2+1=5,a4=2a3+1=11,故选B.2.已知数列{an}满足a1>0且an+1=an,则数列{an}是(B)(A)递增数列(B)递减数列(C)常数列(D)摆动数列解析:因为a1>0,an+1=an,所以an>0.又因为an+1-an=an-an=-an<0,所以an+1
an;当n≥4时,an+1a5>a6>…,故a4最大,所以k=4.答案:413.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.解:(1)由n2-5n+4<0,解得1an知该数列是一个递增数列,因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,k>-3.14.数列{an}中,an=(a2-1)(n3-2n)(a≠±1)且数列{an}为递增数列.试确定实数a的取值范围.解:因为数列{an}是递增数列,所以an+1>an.3所以an+1-an=(a2-1)(3n2+3n-1)>0.因为n∈N*,所以3n2+3n-1=3(n+)2-≥5>0,所以a2-1>0,所以a>1或a<-1.故a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).15.已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,求其通项an.解:因为a1+a2+…+an=n2an,①所以a1+a2+…+an-1=(n-1)2an-1(n≥2).②①-②得an=n2an-(n-1)2an-1,即=(n≥2).故···…·=××××…××,即=.又a1=,所以an=(n∈N+).16.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则此数列第20项为(B)(A)180(B)200(C)128(D)162解析:由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式a2n=2...
