（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题8立体几何第51练垂直的判定与性质练习文训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系．训练题型(1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直．解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.2．(2016·北京海淀区模拟)如图所示，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.(1)求证：BC⊥AF；(2)试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．3．(2016·张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求证：直线AB1∥平面BC1D；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求三棱锥C－BC1D的体积．14．(2016·太原一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点．(1)证明：AB⊥平面AA1C1C；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；2答案精析1．证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.2．(1)证明因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF，因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.由已知得AB⊥BC，且EA∩AB＝A，又因为EA⊂平面EABF，AB⊂平面EABF，所以BC⊥平面EABF.又AF⊂平面EABF，所以BC⊥AF.(2)解直线AF垂直于平面EBC.证明如下：由(1)可知，AF⊥BC.在四边形ABFE中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，∠BAE＝∠AEF＝90°，所以tan∠EBA＝＝tan∠FAE，又因为0°＜∠EBA＜90°，0°＜∠FAE＜90°，所以∠EBA＝∠FAE.设AF∩BE＝P，因为∠PAE＋∠PAB＝90°，故∠PBA＋∠PAB＝90°，则∠APB＝90°，即EB⊥AF.又EB∩BC＝B，EB⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，所以AF⊥平面EBC.3．(1)证明连结B1C交BC1于点O，连结OD，如图，则点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴AB1∥OD.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.3(2)证明∵AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴AA1⊥BD.∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A，AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)解由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝BCsin60°＝3，∴S△BCD＝×3×3＝，∴V三棱锥C－BC1D＝V三棱锥C1－BCD＝××6＝9.4．(1)证明∵A1A⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，∴A1A⊥AB，又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，A1A⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，∴AB⊥平面AA1C1C.(2)解∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，∵在△ABC中，E是BC的中点，∴D是AC的中点．(3)证明∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由(1)可得AB⊥A1C，∵AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥平面ABC1，又∵BC1⊂平面ABC1，∴A1C⊥BC1.又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C.4
