题型专项训练10数列与不等式(解答题专项)1.已知数列{an},{bn}满足下列条件:a1=1,an+1-2an=2n+1,bn=an+1-an.(1)求{bn}的通项公式;(2)设数列的前n项和为Sn,求证:对任意正整数n,均有Sn<2.(2017浙江金华十校4月模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=(n∈N*),求证:(1);(2)2(-1)+…+n.3.已知数列{an}的各项都不为零,其前n项和为Sn,且满足2Sn=an(an+1)(n∈N*).(1)若an>0,求数列{an}的通项公式;(2)是否存在满足题意的无穷数列{an},使得a2016=-2015?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,请说明理由.4.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2,a3,a5成等比数列,S6=45.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn;(2)令pn=,是否存在正整数M,使不等式p1+p2+…+pn-2n≤M恒成立,若存在,求出M的最小值;若不存在,说明理由.5.已知数列{an}满足+…+,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对任意的n∈N*,都有+…+<4.6.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中下学期期中)已知数列{an}满足a1=3,an+1=+2an,n∈N*,设bn=log2(an+1).(1)求{an}的通项公式;(2)求证:1++…+0(n∈N*),所以对任意正整数n,Sn≥S1=.因为(n≥2).所以当n≥2时,Sn=+…+≤=.当n=1时,显然有S1<.综上,对任意正整数n,均有≤Sn<.2.证明(1)∵an+1·an=,①∴an+2·an+1=.②由②÷①得,∴.(2)由(1)得(n+1)an+2=nan,∴+…++…+.令bn=nan,则bn·bn+1=nan·(n+1)an+1==n+1,③∴bn-1·bn=n,n≥2,④由b1=a1=1,b2=2,易得bn>0,由③-④得=bn+1-bn-1(n≥2),∴b12n-n≥2-1>0,所以>0.又≤0,即,所以+…++…+.记S=+…+,由错位相减法,得S=1++…+,即S=2<4.所以+…+<4.6.证明(1)由an+1=+2an,则an+1+1=+2an+1=(an+1)2,由a1=3,则an>0,两边取对数得到log2(an+1+1)=log2(an+1)2=2log2(an+1),即bn+1=2bn,又b1=log2(a1+1)=2≠0,∴{bn}是以2为公比的等比数列,即bn=2n,又∵bn=log2(an+1),∴an=-1.(2)用数学归纳法证明:①当n=2时,左边为1+<2=右边,此时不等式成立;②假设当n=k≥2时,不等式成立,即1++…+
