高中数学3.1空间中向量的概念和运算同步精练湘教版选修2-11对空间非零向量，，，下列各式中一定不成立的是()．A．＋＝B．－＝C．||＋||＝||D．||－||＝||2已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于()．A．B．97C．D．613如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()．A．6B．6C．12D．1444如图，已知空间四边形ABCD每条对角线的长和每条边长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()．A．2·B．2·C．2·D．2·5已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为()．A．30°B．45°C．60°D．90°6已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．7在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简向量表达式－＋－的结果是________．8已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．9如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：1(1)·；(2)·；(3)·.10已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC．M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．2参考答案1.解析：－＝，故B项错误．答案：B2.解析：|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a||b|cos60°＝97－12×2×3×＝61.答案：C3.解析：∵＝＋＋，∴＝＋＋＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴PC＝12.答案：C4.解析：2·＝－2·＝－2a2cos60°＝－a2；2·＝2·＝2a2cos60°＝a2；2·＝·＝－a2；2·＝·＝·＝－a2.答案：B5.解析：∵a·(2b－a)＝0，∴2a·b＝a2＝4.∴a·b＝2.∴cos〈a，b〉＝＝.∴a与b的夹角为45°.答案：B6.解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：－27.解析：－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝2.答案：28.解析：如图，∵＝＋＝＋＋，∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||·cos120°＝61－12＝49.∴PD＝7.3答案：79.解：(1)·＝·＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝.(2)·＝·＝||2＝×12＝.(3)·＝·＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－.10.证明：如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设，，，则|a|＝|b|＝|c|，∵＝＝(a＋b＋c)，＝c－b，∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝§(|a|2cosθ－|a|2cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴OG⊥BC．4
