阶段质量检测（一）解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C＝()A.或B.C.D.解析：选C由＝，得sinC＝. BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.2．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：选B sinA＝sinC且A，C是三角形内角，∴A＝C或A＋C＝π(舍去)．∴△ABC是等腰三角形．3．在△ABC中，a＝k，b＝k(k＞0)，A＝45°，则满足条件的三角形有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选A由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＞1，即sinB＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB＝()A．±B.C．－D.解析：选A因为＝，所以＝，解得sinB＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cosB＝±.5．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A．－B.C．－D.解析：选B设等腰三角形的底边长为a，顶角为θ，则腰长为2a，由余弦定理得，cosθ＝＝.6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于()A.B．1＋C.D．2解析：选B S△ABC＝acsinB，∴ac＝6.又 b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2ac·cos30°＝4b2－12－6，∴b2＝4＋2，∴b＝1＋.7．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C.D.解析：选D由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk，(m>0)， 即∴k>.8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为()1A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选B由已知可得＝－，即cosA＝，b＝ccosA.法一：由余弦定理得cosA＝，则b＝c·，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．法二：由正弦定理，得sinB＝sinCcosA．在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosC＝0.由此得C＝，故△ABC为直角三角形．9．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为()A．2B．8C.D.解析：选C ＝＝＝2R＝8，∴sinC＝，∴S△ABC＝absinC＝＝＝.10．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选B 三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2， sinα＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝×3×5×sin120°＝.11．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()A.小时B．1小时C.小时D．2小时解析：选B在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．12.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为()A.B.C.D.解析：选D设BD＝a，则BC＝2a，AB＝AD＝a.在△ABD中，由余弦定理，得cosA＝＝＝.2又 A为△ABC的内角，∴sinA＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝.∴sinC＝·sinA＝·＝.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－B－C＝30°，由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，即a∶b∶c＝sin30°∶sin30°∶sin120°＝1∶1∶.答案：1∶1∶14．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的值为________．解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－ab.根据余弦定理，cosC＝＝＝，所以cosC＝.答案：15．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，b＝3，则c＝________.解析：在△ABC中， cosA＝>0，∴sinA＝. cosB＝>0，∴sinB＝.∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝.由正弦定理知＝，∴c＝＝...
