第2课时解三角形的实际应用举例——高度、角度问题A级基础巩固一、选择题1．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(D)A．10mB．20mC．20mD．40m[解析]设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．2．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18km，速度为1000km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1km，参考数据：≈1.732)(B)A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km[解析]本题考查正弦定理的实际应用． AB＝1000×＝(km)，∴BC＝·sin30°＝(km)．∴航线离山顶的距离为×sin75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km)．故选B．3．(2019·湖南武冈二中高二月考)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(A)A．mB．mC．200mD．200m[解析]如图，1由题意可知，∠ABC＝30°，AB＝200，∴AC＝200tan30°＝.过点D作DE⊥AB，E为垂足，在△DEB中，DE＝，∠DBE＝60°，∴BE＝＝，∴塔高CD＝AB－BE＝m.4．某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(A)A．100mB．100mC．50(＋)mD．200m[解析]如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°·cos30°＋cos45°·sin30°)＝25(＋)，CD＝100cos75°＝25(－)，BD＝＝＝25(3＋)．∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)．5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为(D)A．15mB．20mC．25mD．30m[解析]设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝，①2cos∠PBC＝.② ∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30m.6．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(D)A．500mB．200mC．1000mD．1000m[解析] ∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝＝＝1000，∴BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000(m)．二、填空题7．一树干高15m，被台风吹断并歪倒，折断部分(长5m)与残存树干成120°角，树干折断处距离地面的高度是____m.(不求近似值)[解析]如图，大树折断部分BC＝5m，残存树干为AB，折断部分与残存树干所成的角为∠ABC＝120°.作AD⊥CB交CB延长线于点D，作BE⊥AC于点E，BE的长为树干折断处距离地面的高度． 树干高15m，∴AB＋BC＝15(m)，∴AB＝15－BC＝10(m)． ∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°.∴∠BAD＝90°－∠ABD＝30°.∴BD＝AB＝5(m)．∴AD＝＝＝5(m)．∴CD＝CB＋BD＝10(m)．∴AC＝＝＝5(m)， S△ABC＝AC·BE＝BC·AD，∴BE＝＝＝(m)．8．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是anmile/h，问甲船应沿着__北偏东30°__方向前进，才能最快与乙船相遇？3[解析]如图，设经过th两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝. 0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题9．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析]设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝.在△ABC...
