【成才之路】2015-2016学年高中数学第一章推理与证明综合测试北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点[答案]C[解析]正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C．2．不等式a＞b与＞同时成立的充要条件为()A．a＞b＞0B．a＞0＞bC．＜＜0D．＞＞0[答案]B[解析]⇔⇔⇔a＞0＞b，故选B.3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案]C[解析]至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况．4．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋[答案]D[解析] f(n)＝＋＋＋…＋∴f(n)中共有n2－n＋1项．f(2)＝＋＋＝＋＋5．数列{an}中前四项分别为2，，，，则an与an＋1之间的关系为()A．an＋1＝an＋6B．＝＋3C．an＋1＝D．an＋1＝[答案]B[解析]观察前四项知它们分子相同，分母相差6，∴{}为等差数列．6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10)D．(10,1)1[答案]B[解析]依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n组整数对的和为n＋1，且有n个整数对．这样前n组一共有个整数对．注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，为(5,7)．故选B.7．设a、b、c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数()A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2[答案]D[解析]a＋＋b＋＋c＋＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋) a、b、c都是正数，∴a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2，当且仅当a＝1，b＝1，c＝1时取等号∴a＋＋b＋＋c＋≥6∴a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.8．把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30[答案]B[解析]第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10，因此，由归纳推理得第n个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n＝.由此可以得出第七个三角形数是28.9．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝()A．B．C．D．[答案]C[解析]将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C．证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.10．(2015·陕西文，10)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则2下列关系式中正确的是()A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q[答案]C[解析]p＝f()＝ln＝ln(ab)；q＝f()＝ln；r＝(f(a)＋f(b))＝ln(ab)，因为＞，由f(x)＝lnx是个递增函数，f()＞f()，所以q＞p＝r，故答案选C．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11.(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案]S2＝S＋S＋S[解析]类比如下：正方形正方体；截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥；...
