课时作业6空间向量的运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知空间任意四个点A，B，C，D，则BA＋CB－CD等于(C)A.DBB.ADC.DAD.AC解析：BA＋CB－CD＝BA＋DB＝DA.2．如图，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则下列与向量A′C相等的表达式是(D)A．－a＋b＋cB．－a－b＋cC．a－b－cD．a＋b－c解析：A′C＝A′A＋AB＋BC＝－c＋a＋b＝a＋b－c.3．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(A)A．－2B．－1C．±1D．2解析：a·b＝(2i－j＋k)(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.4．如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD.设M，N分别是BC，CD的中点，则AB＋(BD＋BC)＝(A)A.ANB.CNC.BCD.BC1解析：AB＋(BD＋BC)＝AB＋BN＝AN.5．已知向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0，故选B.6．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是(B)A.a＋b＋cB．－a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD＝A1A＋(AD－AB)＝A1A＋A1D1－A1B1＝－a＋b＋c.7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是(B)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．形状不确定解析：画出图形可知B、C、D三点位于长方体同一顶点处的三条棱上，根据三角形性质，可知为锐角三角形．8．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(C)A．6B．6C．12D．144解析：如图．∵PC＝PA＋AB＋BC，∴PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36×cos60°＝144.∴|PC|＝12.2二、填空题9．若空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b＝.解析：由空间向量数量积的性质，知a·a＝|a|2＝1.由空间向量数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×cos60°＝，从而a·a＋a·b＝1＋＝.10．在长方体ABCDA1B1C1D1中，若E为矩形ABCD对角线的交点，则A1E＝A1A＋xA1B1＋yA1D1中的x，y值应为x＝，y＝.解析：A1C＝A1A＋A1C1＝A1A＋A1B1＋A1D1，A1E＝(A1A＋A1C)＝(2A1A＋A1B1＋A1D1)＝A1A＋A1B1＋A1D1，∴x＝，y＝.11．已知Rt△OAB中，∠AOB为直角，OA与OB的长度都为2，CB垂直于三角形OAB确定的平面，且3|BC|＝|AB|，则向量BC的模是.解析：AB的模为2，根据题中条件，可得|BC|＝|AB|，即BC的模为.三、解答题12．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)MP＋NC1.解：(1)∵P是C1D1的中点，∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.(2)∵M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋＝a＋b＋c.又∵NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，∴MP＋NC1＝＋＝a＋b＋c.13．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c的模．解：|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝1＋4＋9＋2(0＋1×3×＋2×3×)＝17＋6，∴|a＋b＋c|＝.——能力提升类——14．已知P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则AP·AC的最大值为2.解析：由题意画出图形，如图所示，因为AP·AC＝|AP||AC|cos〈AP，AC〉，|AP|3cos〈AP，AC〉是向量AP在AC上的投影，所以当P在棱C1C上时，投影最大，AP·AC的最大值为AC2＝()2＝2.15．如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝AD＝AA′＝1，∠A′AD＝∠A′AB＝∠BAD＝60°，求：(1)AC′的长；(2)BD′的长．解：(1)AC′2＝(AB＋BC＋CC′)2＝AB2＋BC2＋CC′2＋2AB·BC＋2BC·CC′＋2AB·CC′＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝6.∴AC′＝|AC′|＝.(2)BD′2＝(BA＋BC＋BB′)2＝BA2＋BC2＋BB′2＋2BA·BC＋2BC·BB′＋2BA·BB′＝1＋1＋1＋2×1×1×(－)＋2×1×1×＋2×1×1×(－)＝2.∴BD′＝.4
