课时作业7空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在以下三个命题中，真命题的个数是(C)①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；③若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则a，b，c构成空间的一个基底．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，①②均正确．2．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标是(A)A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)解析：设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)．3．如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝AA′，b＝AB，c＝AD，AE＝xa＋yb＋zc，则(A)A．x＝2，y＝1，z＝B．x＝2，y＝，z＝C．x＝，y＝，z＝1D．x＝，y＝，z＝解析：AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝2a＋b＋c.4．下列等式中，使M，A，B，C四点共面的个数是(B)①OM＝OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0.A．1B．2C．3D．4解析：由题意，M，A，B，C四点共面，则OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)或MC＝xMA＋yMB(x，y∈R)．1对于①，OM＝OA－OB－OC不满足x＋y＋z＝1，不成立．对于②，OM＝OA＋OB＋OC满足x＋y＋z＝1，成立．对于③，MA＋MB＋MC＝0，可化为MC＝－MA－MB，成立．对于④，OM＋OA＋OB＋OC＝0，可化为OM＝－OA－OB－OC，不满足x＋y＋z＝1，不成立．5．若O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则(D)A.OA，OB，OC共线B.OA，OB共线C.OB，OC共线D．O，A，B，C四点共面解析： OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，∴OA，OB，OC三个向量共面，∴O，A，B，C四点共面．故选D.6．已知线段AB的长度为6，AB与直线l的夹角为120°，则AB在l上的投影为(B)A．3B．－3C．3D．－3解析：AB在l上的投影为：|AB|·cos120°＝－3.7．在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OG等于(A)A.a＋b＋cB.a＋b＋cC．a＋b＋cD．3a＋3b＋3c解析：如图，取AB的中点M，连接CM，则必过G点，则CM＝(CA＋CB)＝[(OA－OC)＋(OB－OC)]＝a＋b－c.CG＝CM＝a＋b－c，所以OG＝OC＋CG＝a＋b＋c.8．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为(A)A.，－1，－B.，1，C．－，1，－D.，1，－解析：d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以有：解得二、填空题9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，则AC1在BA上的投影是－2.解析：AC1在BA上的投影为|AC1|·cos〈AC1，BA〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝＝＝＝，又|AC1|＝.∴|AC1|·cos〈AC1，BA〉＝×＝－2.10．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，MN在基底{a，b，c}下的坐标为(－，，)．解析： OM＝2MA，点M在OA上，∴OM＝OA，2∴MN＝MO＋ON＝－OM＋(OB＋OC)＝－a＋b＋c＝(－，，)．11．如图，在三棱锥PABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC中点，以{BA，BC，BP}为基底，则MN的坐标为(，0，－)．解析：MN＝BN－BM＝(BA＋BC)－(BP＋BC)＝BA－BP，即MN＝.三、解答题12．已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各点的坐标，并写出DA，DB，DC，DC1，DD1，DA1，DB1的坐标表示．解： 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴DA＝(1,0,0)，DB＝(1,1,0)，DC＝(0,1,0)，DC1＝(0,1,1)，DD1＝(0,0,1)，D...
