§2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程课时目标1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程．1．抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程(1)方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做抛物线的________方程．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是__________，准线方程是__________，开口方向________．(3)抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点坐标是______，准线方程是________，开口方向________．(4)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．(5)抛物线x2＝－2py(p>0)的焦点坐标是________，准线方程是__________，开口方向________．一、填空题1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是_______________________．2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在曲线－＝1上，则抛物线方程为________．3．与抛物线y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是________．4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有________条．5．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，BF＝2，则△BCF与△ACF的面积之比为________．6．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为____________．8．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是____________________．二、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．10.求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线的标准方程．1能力提升11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．12．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．1．四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向．2．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝2py通常又可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y＝ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式．§2.4抛物线2．4.1抛物线的标准方程知识梳理1．相等焦点准线2．(1)标准(2)(，0)x＝－向右(3)(－，0)x＝向左(4)(0，)y＝－向上(5)(0，－)y＝向下作业设计1.解析因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为.2．y2＝±8x解析由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.3．(0，)解析y2＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线为x2＝y，∴2p＝，p＝，∴焦点为.4．2解析容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，l与抛物线有一个公共点，或者l在M点上与抛物线相切．5.2解析如图所示，设过点M(，0)的直线方程为y＝k(x－)，代入y2＝2x并整理，得k2x2－(2k2＋2)x＋3k2＝0，则x1＋x2＝.因为BF＝2，所以BB′＝2.不妨设x2＝2－＝是方程的一个根，可得k2＝，所以x1＝2.＝＝＝＝＝.6．y＝3解析抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.7．x＝－1解析 y2＝2px的焦点坐标为(，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.8．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意知，设P(x1，x－1)，Q(x2，x－1)，又A(-1,0),PAPQ,∴PA·PQ＝0，即(－1－x1,1－x)·(x2－x1，x－x)＝0，也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－x)·(x－x)＝0. x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝－x1＝＋(1－x1)－1，由基...
