第三章数系的扩充与复数的引入3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算A级基础巩固一、选择题1．复数(1＋i)(1＋ai)是实数，则实数a等于()A．2B．1C．0D．－1解析：(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(1＋a)i，若是实数，则1＋a＝0，所以a＝－1.答案：D2．复数z＝－1在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝－1＝－1＝－1＝i－1＝－1＋i，则复数z对应的点为(－1，1)，此点在第二象限．答案：B3．已知复数z＝1－i，则＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：因为z＝1－i，所以＝＝＝－2i.答案：B4．复数z为纯虚数，若(3－i)·z＝a＋i(i为虚数单位)，则实数a的值为()A.B．3C．－D．－3解析：由已知设z＝ki(k∈R，且k≠0)，则(3－i)·ki＝a＋i，即k＋3ki＝a＋i，由两个复数相等的充要条件知解得a＝k＝.答案：A5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.答案：A二、填空题6．已知a，b∈R，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________．解析：因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，1所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：3＋4i7．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝________．解析：因为z＝1＋i，则＝1－i.所以＋i·＝＋i(1－i)＝＋i＋1＝2.答案：28．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是________(填序号)．①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1.解析：z＝＝＝－1－i，所以|z|＝＝，z2＝(－1－i)2＝2i.z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．答案：②④三、解答题9．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数是，求实数a、b使az＋2b＝(a＋2z)2.解：因为z＝1＋i，＝1－i，所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.因为a、b都是实数，所以由az＋2b＝(a＋2z)2，得解得或10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i，所以z的共轭复数z＝－2－4i.(2)由(1)知，w＝＋ai＝－2＋(a＋4)i，所以|w|＝＝，|z|＝2.依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a≤0，所以－8≤a≤0，即a的取值范围为[－8，0]．B级能力提升1．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()2A．EB．FC．GD．H解析：由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．答案：D2．(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则＝________．解析：因为z·z＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，所以＝＝i(2＋i)＝2i－1.答案：2i－13．已知复数z＝.(1)求|z|；(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．解：(1)因为z＝＝＝＝3－i，所以|z|＝.(2)又z(z＋a)＝b＋i，则(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)2＋(3－i)a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，所以⇒因此实数a＝－7，b＝－13.3
