课时跟踪检测（三十）平面向量的数量积与平面向量应用举例一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝()A．－6B．C．D．10解析：选D a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝10，故选D.2．(2018·浙江名校联考)已知向量a＝(1＋m,1－m)，b＝(m－1，2m＋1)，m∈R，则“m＝0”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Aa⊥b⇔(1＋m)(m－1)＋(1－m)(2m＋1)＝0⇔m(m－1)＝0⇔m＝0或m＝1，所以“m＝0”是“a⊥b”的充分不必要条件．3．(2019·长春模拟)向量a，b均为非零向量，若(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为()A.B.C.D.解析：选B因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2，a·b＝，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.4．已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m的值是________；|a|＝________.解析：a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)， (a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，∴m＝－2.∴a＝(－1，－3)，|a|＝＝.答案：－25．△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝1，DC＝2BD，则AD·BC＝________.解析：由DC＝2BD，得AD＝(AC＋2AB)．∴AD·BC＝(AC＋2AB)·(AC－AB)＝(AC2＋AC·AB－2AB2)＝＝－.答案：－二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a＝(1，x)，b＝(－1，x)，若2a－b与b垂直，则|a|＝()A.B．C．2D．4解析：选C由已知得2a－b＝(3，x)，而(2a－b)·b＝0⇒－3＋x2＝0⇒x2＝3，所以|a|＝＝＝2.12．(2018·慈溪中学适应)若正三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB的值为()A．2B．－2C．－2D．－解析：选D因为CM＝CB＋CA，所以CA＋AM＝CB＋CA，即AM＝CB－CA，同理可得BM＝－CB＋CA.所以MA·MB＝AM·BM＝＝－(CB－CA)2＝－AB2＝－×12＝－.3．平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形解析：选C因为AB＋CD＝0，所以AB＝－CD＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB－AD)·AC＝DB·AC＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．4．在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C，则()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC解析：选D设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－2,0)，B(2，0)，P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，∴PB＝(2－x,0)，PC＝(a－x，b)，P0B＝(1,0)，P0C＝(a－1，b)．则PB·PC≥P0B·P0C⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.5．(2019·宝鸡质检)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足|MN|＝，则BM·BN的取值范围为()A.B.C.D.解析：选C以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.设M(a,2－a)，则0＜a＜1，N(a＋1，1－a)，∴BM＝(a,2－a)，BN＝(a＋1,1－a)，∴BM·BN＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2， 0＜a＜1，∴当a＝时，BM·BN取得最小值.又BM·BN＜2，故BM·BN的取值范围为.6．(2018·浙江考前热身联考)已知单位向量a，b的夹角为60°，且|c－3a|＋|c＋2b|＝，则|c＋a|的取值范围为________．解析：如图，记OA＝3a，则点A的坐标为(3,0)，记OB＝－2b，则点B的坐标为(－1，－)，因为∠AOB＝120°，所以|AB|＝＝，记OC＝c，则点C的轨迹为线段AB.|c＋a|的几何意义是点P(－1,0)到线段AB上的点的距离，其中点P到直线AB的距离d最小，|PA|最大，又直线AB的方程为x－4y－3＝0，所以d＝＝，|PA|＝4，所以|c＋a|的取值范围为.答案：7．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则实数λ的值为________；向量m，n的夹角的余弦值为________．解析：因为m＋n＝(2λ...
