第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).[微点提醒]1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.cos2α＝，sin2α＝.3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).答案(1)√(2)√(3)×(4)√2.(必修4P127T2改编)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin等于()A.－B.C.－D.解析 α是第三象限的角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.答案C3.(必修4P146A4(2)改编)tan20°＋tan40°＋tan20°·tan40°＝________.解析 tan60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝－tan20°tan40°，∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.答案4.(2018·全国Ⅲ卷)若sinα＝，则cos2α＝()A.B.C.－D.－解析因为sinα＝，cos2α＝1－2sin2α，所以cos2α＝1－2×＝1－＝.答案B5.(2019·南昌一模)已知角α的终边经过点P(sin47°，cos47°)，则sin(α－13°)＝()A.B.C.－D.－解析由三角函数定义，sinα＝cos47°，cosα＝sin47°，则sin(α－13°)＝sinαcos13°－cosαsin13°＝cos47°cos13°－sin47°sin13°＝cos(47°＋13°)＝cos60°＝.答案A6.(2018·全国Ⅱ卷)已知tan＝，则tanα＝____________.解析tan＝＝＝，解得tanα＝.答案考点一三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：(0<α<π)＝________.解析(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝＝＝.因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cosα.答案(1)sin(α＋γ)(2)cosα规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练1】(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝()A.sin(α＋2β)B.sinαC.cos(α＋2β)D.cosα(2)化简：＝________.解析(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(2)原式＝＝＝＝＝cos2α.答案(1)D(2)cos2α考点二三角函数式的求值多维探究角度1给角(值)求值【例2－1】(1)计算：＝________.解析＝＝＝＝.答案(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.①求cos2α的值；②求tan(α－β)的值.解①因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α...
