高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理第一课时互动课堂 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理第一课时互动课堂苏教版选修2-2疏导引导推理是由一个或几个已知判断作出一个新的判断的思维形式.由于数学中通常把判断称为命题,因而数学推理是由已知命题推出新的命题的思维形式.推理一般分为合情推理和演绎推理,合情推理包括归纳推理和类比推理.(1)归纳推理所谓归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质,推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.是从特殊到一般的推理.归纳推理：根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性F,而作出该类事物都具有属性F的结论的推理.其推理形式是： A1具有性质F,A2具有性质F,…An具有性质F,归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与错误是需要严格论证的.案例1观察下图，可以发现：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52由上述事实，你能得出怎样的结论？【探究】将上述事实分别叙述如下：前2个奇数的和等于2的平方；前3个奇数的和等于3的平方；前4个奇数的和等于4的平方；前5个奇数的和等于5的平方；……由此猜想：前n(n∈N+)个连续奇数的和等于n的平方，即1+3+5+…+(2n-1)=n2【规律总结】归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还有待于证明，归纳往往从观察开始，观察，实验，对有限地资料进行归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基1本方法之一.(2)类比推理①类比推理是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似,而推出它们的某种其他属性也相同或相似的思维形式,也称为类比法,类比推理是以比较为基础的,在对两个或两类对象的属性进行比较时,若发现它们有较多的相同点或相似点,则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去.由于类比法是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较,而作出有关另一个特殊属性的结论的,因此类比推理是从特殊到特殊的推理.②类比法的类型(ⅰ)简单类比仅仅依据两个研究对象在形式或现象方面的某些相同或相似,而推出它们在其他某方面相同或相似的方法,称为简单类比.简单类比的结构模式为对象A：具有属性a1、a2、…、an、m对象B：具有属性a1′、a2′、…、an′.由于简单类比侧重于外在形式和表面现象的比较,较少涉及事物的本质方面,因而其类比猜想的可靠性较差.(ⅱ)科学类比为了提高类比猜想的可靠程度,一般来说需要增加作为推理基础的相同方面的属性,因为相同属性越多,推出属性相同的可能性就越大;同时要提高类比属性与推出属性的相关程度,二者联系愈密切,结论就愈可靠.于是,便出现了科学类比的方法.如果所研究的两个对象有较多相同或相似的属性,而且这些属性之间具有因果关系R,由此推出它们有其他相同或相似的属性及关系R′,这种方法就是科学类比.科学类比的结构模式为对象A：具有属性a1、a2、…、an,m和关系R对象B：具有属性a1′、a2′、…、an′.与简单类比不同的是,科学类比重视因果关系.由于因果关系往往反映了事物的本质与内在联系,因而通过科学类比形成的猜想具有较大的可靠性.案例2在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19,n∈N*)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式__________________成立.【探究】本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m，n，p,q∈N*且m+n=p+q，则am+an=ap+aq)；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m，n，p,q∈N*且m+n=p+q，则am·an=ap·aq).由此，猜测本题的答案为：b1b2…bn=b1b2…b17-n(n＜17,n∈N*).事实上，对等差数列{an}，如果ak=0，则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0.所以有：a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n＜2k-1,n∈N*).从而对等比数列{bn}，如果bk=1，则有等式b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n＜2k-1,n∈N*)成立.【规律总结】本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列{an}而得到等比数列{bn}的新的一般性的结论.活学巧用21.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，...