第3章导数及其应用滚动训练(四)一、填空题1.已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________________.考点四种命题题点否命题答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题.2.已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是________.考点导数的几何意义题点求切线方程答案y＝0或4x＋y＋4＝0解析设切点坐标为(x0，x)， f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.3.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案解析设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)， c>b，∴只有∠B1F1B2＝60°，∴tan30°＝，∴c＝b，又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝＝＝.4.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.考点椭圆的标准方程题点椭圆定义的理解答案＋＝1或＋＝1解析由题意知解得又b2＝a2－c2，∴b2＝9，1当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.5.F1，F2是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则PF1·PF2的最大值是________.考点椭圆的几何性质题点椭圆中的最值问题答案1解析设P(x，y)，依题意得点F1(－，0)，F2(，0)，PF1·PF2＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2，注意到－2≤x2－2≤1，因此PF1·PF2的最大值是1.6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.考点导数的几何意义题点求切线方程答案x－y－2＝0解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.7.若曲线y＝x2＋alnx(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为________.考点导数的几何意义题点求切点坐标答案(1,1)解析y＝x2＋alnx的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是(1,1).8.已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.考点导数的几何意义题点由切线方程求参数答案1解析 f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又点(2,7)在切线上，可得a＝1.29.若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是________.考点导数的几何意义题点求切线方程答案1或解析易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，由f′(x)＝3x2－6x＋2得f′(0)＝2，则切线方程为y＝2x.由得x2－2x＋a＝0，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.①又k＝＝x－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝(x0＝0舍去)，∴k＝－，∴所求切线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0.依题意，Δ＝－4a＝0，∴a＝.综上，a＝1或a＝.10.曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为__________________.考点导数的几何意义题点求切线方程答案2x＋y＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝＝，故切线的斜率k＝f′(0)＝＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝－2(x－0)，即2x＋y＋1＝0.二、解答题11.求下列函数的导数.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝.考点导数的运算题点求函数导数解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(3)y′＝′＝＝－.12.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.考点导数的几何意义3题点求切线方程解(1) f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)， f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程...
