第17课时数列求和知识点一分组求和法1．求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)(a≠0)．解原式＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)＝(a＋a2＋…＋an)－＝2．求数列，，，，…的前n项和．解Sn＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋…＋n＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋＝＋1－．知识点二裂项相消法3．求和：1＋＋＋…＋．解 an＝＝＝2－，∴Sn＝21－＋－＋…＋－＝．4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝n2＋n．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设的前n项和为Tn，求证Tn＜1．解(1) Sn＝n2＋n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2满足上式，∴an＝2n(n∈N*)．(2)证明： Sn＝n2＋n＝n(n＋1)，∴＝＝－，∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－． n∈N*，∴＞0，即Tn＜1．知识点三错位相减法5．已知an＝n－2n，bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn的表达式．解因为an＝n－2n，bn＝，所以bn＝－1，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－n，令Tn＝＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋＋…－＝1－－，所以Tn＝2－，即Sn＝2－－n．16．已知数列{an}是首项a1＝，公比q＝的等比数列，设bn＋3log4an＋2＝0，数列{cn}满足cn＝an·bn．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和Sn．解(1)由题意，得an＝n，又bn＝－3log4an－2，故bn＝3n－2．(2)由(1)知an＝n，bn＝3n－2，所以cn＝(3n－2)n．所以Sn＝1×＋4×2＋7×3＋…＋(3n－5)×n－1＋(3n－2)×n，①于是Sn＝1×2＋4×3＋7×4＋…＋(3n－5)×n＋(3n－2)×n＋1．②①－②，得Sn＝＋3×2＋3＋…＋n－(3n－2)×n＋1＝－(3n＋2)×n＋1．所以Sn＝－×n．知识点四倒序相加求和7．已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log2，则数列{f(an)}的各项之和为()A．36B．33C．30D．27答案D解析由f(x)＝x＋log2，可知＞0，解得－2＜x＜8．{f(an)}中－2＜an＜8，又an＝n－2，所以an＝－1，0，1，2，…7．由f(6－x)＝6－x＋log2可得f(x)＋f(6－x)＝6．且有f(3)＝3，数列{f(an)}的各项之和为f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7)＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋[f(1)＋f(5)]＋[f(2)＋f(4)]＋f(3)＝4×6＋3＝27．故选D．8．已知函数f(x)＝x＋3sinx－＋，则f＋f＋…＋f＝________．答案2018解析 f(a)＋f(1－a)＝a＋3sina－＋＋1－a＋3sin1－a－＋＝2＋3sina－＋3sin－a＝2，设S＝f＋f＋…＋f，①则S＝f＋f＋…＋f．②①＋②得2S＝2018×f＋f＝4036，∴S＝2018．易错点一公式使用条件考虑不周全9．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋2n＋1，求an．易错分析公式an＝是分段的，因为n＝1时，Sn－1无意义．在解答中，应加上限制条件n≥2，然后验证n＝1时的值是否适合n≥2时的表达式．本题易错解为an＝2·3n－1＋2．解a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2．由于a1不适合此式，故an＝易错点二忽略解决问题的方法致错210．已知数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝2n－3，求数列{an}的前n项和Sn．易错分析本题如果由递推关系式求出数列的通项，再求前n项和，则过程较繁琐．由递推关系式的特点，可考虑相邻两项并项求和，此时需对n的奇偶性作分类讨论．解当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝(2×1－3)＋(2×3－3)＋…＋[2(n－1)－3]＝2[1＋3＋…＋(n－1)]－3×＝．当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝2＋(2×2－3)＋(2×4－3)＋…＋[2(n－1)－3]＝2＋2[2＋4＋…＋(n－1)]－3×＝．故数列{an}的前n项和为Sn＝一、选择题1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400答案B解析S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200．2．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()A．3690B．3660C．1845D．1830答案D解析不妨令a1＝1，则a2＝2，a3＝a5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋×4＝1830．3．设数列{an}的通项公...
