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高中数学 2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 新人教B版必修5VIP免费

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等差数列的前n项和·例题解析【例1】等差数列前10项的和为140,其中,项数为奇数的各项的和为125,求其第6项.解依题意,得10ad=140aaaaa=5a20d=1251135791++++++101012()解得a1=113,d=-22.∴其通项公式为an=113+(n-1)·(-22)=-22n+135∴a6=-22×6+135=3说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的.这种先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在本课中如果注意到a6=a1+5d,也可以不必求出an而直接去求,所列方程组化简后可得++相减即得+,a2a9d=28a4d=25a5d=36111即a6=3.可见,在做题的时候,要注意运算的合理性.当然要做到这一点,必须以对知识的熟练掌握为前提.【例4】在1和2之间插入2n个数,组成首项为1、末项为2的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13,求插入的数的个数.解依题意2=1+(2n+2-1)d①前半部分的和=++②后半部分的和′=+·+·-③S(n1)dS(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212由已知,有′化简,得解之,得④SSnndnndndndnn111121229131222913()()()()nd=511由①,有(2n+1)d=1⑤由④,⑤,解得,d=111n=5∴共插入10个数.【例5】在等差数列{an}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn,m≠n,求Sm+n.用心爱心专心解S(mn)a(mn)(mn1)d(mn)[a(mn1)d]m+n11 =++++-=+++-1212且Sm=Sn,m≠n∴+-=+-整理得-+-+-mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1)=011112122d即-++-由≠,知++-=(mn)[a(mn1)d]=0mna(mn1)d0111212∴Sm+n=0【例6】已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前n项和Tn.分析nS=nadan11等差数列前项和+,含有两个未知数,nn()12d,已知S3和S6的值,解方程组可得a1与d,再对数列的前若干项的正负性进行判断,则可求出Tn来.解dSnad3a3d=21ba15d=24n111设公差为,由公式=+得++nn()12解方程组得:d=-2,a1=9∴an=9+(n-1)(n-2)=-2n+11由=-+>得<,故数列的前项为正,a2n110n=5.5{a}5nn112其余各项为负.数列{an}的前n项和为:S9n(2)=n10nn2=+--+nn()12∴当n≤5时,Tn=-n2+10n当n>6时,Tn=S5+|Sn-S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn∴Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50即-+≤-+>∈T=n10nn5n10n50n6n*n22N说明根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{|an|}的前n项和.【例7】在等差数列{an}中,已知a6+a9+a12+a15=34,求前20项之和.解法一由a6+a9+a12+a15=34得4a1+38d=34用心爱心专心又=+×S20ad20120192=20a1+190d=5(4a1+38d)=5×34=170解法二S=(a+a)202=10(aa)20120120×+由等差数列的性质可得:a6+a15=a9+a12=a1+a20∴a1+a20=17S20=170【例8】已知等差数列{an}的公差是正数,且a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前20项的和S20的值.解法一设等差数列{an}的公差为d,则d>0,由已知可得(a2d)(abd)12a3da5d=41111++=-①+++-②由②,有a1=-2-4d,代入①,有d2=4再由d>0,得d=2∴a1=-10最后由等差数列的前n项和公式,可求得S20=180解法二由等差数列的性质可得:a4+a6=a3+a7即a3+a7=-4又a3·a7=-12,由韦达定理可知:a3,a7是方程x2+4x-12=0的二根解方程可得x1=-6,x2=2 d>0∴{an}是递增数列∴a3=-6,a7=2d=a=2a10S1807120a373,=-,=【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若STnnabnn231100100,则等于[]A1BCD....23199299200301分析nS=n(a+a)nn1n该题是将与发生联系,可用等差数列的前项和公式把前项和的值与项的值进行联系.abSTnnnn1001002312用心爱心专心解法一 ,∴∴SnaaTnbbSTaabbaabbnnnnnnnnnnnn()()11111122231 2a100=a1+a199,2b100=b1+b199∴××选.abab100100199199=ab=21993199+1=199299C11解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件:Sn=an2+bn STnnnn231可设Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k∴∴××abSSTTnknknnknnknnnnabnnnnnn...

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