高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量课时作业 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

§3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量课时目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.理解直线的方向向量与平面的法向量在确定直线与平面时的作用．1．直线的方向向量直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的______________．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n__________平面α，记作________，此时把向量n叫做平面α的__________．3．平面法向量与平面内点之间的关系在空间直角坐标系内，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量n＝(A，B，C)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式为______________________．一、填空题1.已知A（3,5,2），B（-1,2,1），把AB按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是________．2．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为________．3．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________；y＝________.4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.5．已知l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m＝________.6．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则l的一个方向向量＝________________________________________________________________________.7.如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝________.8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为________________________．二、解答题9．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．10．△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC上任一点．(1)求平面ABC的一个法向量；(2)求x，y，z满足的关系式．12能力提升11.在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求平面CMN的一个法向量．12.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF是平面AB1C的法向量．31．直线的方向向量是一个很重要的概念．由定点A和方向向量a不仅可以确定直线l的位置，还可具体表示出l上的任意点；还可确定直线共线的条件，计算两条直线所成的角等．2．求解平面的法向量若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．3．由平面的法向量和平面内一点可得到平面上任一点坐标满足的关系式．§3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量知识梳理1．方向向量2．垂直于n⊥α法向量3．A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0作业设计1．(－4，－3，－1)解析AB＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的，所以平移后的向量和向量AB相等．2．(18,17，－17)解析设B(x，y，z)，AB＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342， λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．3．6解析 l1∥l2，∴a∥b，则有2x＝12且2y＝15，解方程得x＝6，y＝.4．4解析α∥β(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，∴λ＝－2，k＝4.5．－8解析(2，m,1)·＝0，得m＝－8.6.或7．2解析以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设Q(1，y,0)，P(0,0，b)，D(0，a,0)，所以PQ＝(1，y，－b)，QD＝(－1，a－y,0)，由PQ⊥QD得－1＋y(a－y)＋0＝0，即y2－ay＋1＝0有等根，所以Δ＝0，即a2－4＝0，得a＝2.8.或9．解 A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n·AB＝0，n·AC＝0.即，解得.令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．10．解(1)设平面ABC的法向量n＝(a，b，c)，4 AB＝(2,4，－1)，AC＝(2,2,1)，∴，∴.故可取n＝(－3,2,2)．∴平面ABC的一个法向量为n＝(－3,2,2)．(2) 点M(x，y，z)是平面ABC上任一点，...