第1讲坐标系1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.解(1)∵ρ＝，ρsinθ＝y，∴ρ＝化为ρ－ρsinθ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，根据题意＝3·，解得θ0＝或θ0＝，直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程.解以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.4.在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ＝2QP，求动点P的轨迹方程.解(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点.在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，化简得ρ＝6cos.(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由OQ＝2QP，得OQ＝OP，∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，代入圆C的方程，得ρ＝6cos，即ρ＝9cos.5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α).所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.6.(2017·唐山质检)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.解(1)曲线C1化为ρcosθ＋ρsinθ＝.∴ρsin＝.曲线C2化为＋＝1(*)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(*)式得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.(2)∵M(，0)，N(0，1)，∴P，∴OP的极坐标方程为θ＝，把θ＝代入ρsin＝，得ρ1＝1，P.把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，Q.∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.
