第2课时数列的性质和递推公式1.已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析an＋1－an＝3>0，故数列{an}为递增数列.答案A2.数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，则a6＝A.3B.5C.8D.13解析由条件知a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8.答案C3.已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是A.an＝2nB.an＝C.an＝D.an＝解析a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.答案C4.若数列{an}满足an＋1＝2an－1，且a8＝16，则a6＝________.解析由an＋1＝2an－1，得an＝(an＋1＋1)，∴a7＝(a8＋1)＝，a6＝(a7＋1)＝.答案5.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2018＝________.解析a1＝2，由an＋1＝，得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，∴数列{an}的周期为4，∴a2018＝a4×504＋2＝a2＝－3.答案－3[限时45分钟；满分80分]1一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是A.1B.C.D.解析由a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，依此类推a4＝.答案B2.在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是A.RB.(0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，0]解析∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k＜0.答案C3.数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析an＝3n2－28n＝3－，故当n＝5时，an的最小值为a5＝－65.答案B4.数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于A.B.C.D.解析由a1·a2·a3·…·an＝n2，(n≥2)得a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，(n≥3)，∴an＝，(n≥3)，∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.答案C5.已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于A.－165B.－33C.－30D.－21解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.答案C6.(能力提升)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝A.2＋lgnB.2＋(n－1)lgnC.2＋nlgnD.1＋n＋lgn解析由an＋1＝an＋lg⇒an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg22＋lg＋lg＋…＋lg＝2＋lg＝2＋lgn.答案A二、填空题(每小题5分，共15分)7.若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第7项的值为________.解析由数列{an}的首项和递推公式可以求出a2＝，a3＝，…，观察得到通项公式an＝，所以a7＝.答案8.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.数列{an}满足a1＝1，且对任意n∈N*，点(an，an＋1)都在函数f(x)的图象上，则a2017的值为________.x1234f(x)3124解析由题知，an＋1＝f(an)，a1＝1.∴a2＝f(1)＝3，a3＝f(a2)＝f(3)＝2，a4＝f(a3)＝f(2)＝1，…，依次类推，可得{an}是周期为3的周期数列，∴a2017＝a672×3＋1＝a1＝1.答案19.(能力提升)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0，则an＝________.解析(n＋1)a－na＋an＋1·an＝[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，∵an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，即＝.所以an＝··…··a1＝···…··1＝.答案三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出.(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.解析(1)因为an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，所以a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.(2)因为bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，3所以b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.11.(12分)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.(1)写出数列{an}的前5项；(2)猜想数列{an}的通项公式；(3)画出数列{an}的图象.解析(1)a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝.(2)猜想：an＝.(3)图象如图所示：12.(12分)已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*).(1)求证：an＞－2；(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？解析(1)证明因为f(x)＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋.因为n∈N*，所以an＞－2.(2)数列{an}为递减数列.因为an＝－2＋，所以an＋1－an＝－＝－＝＜0，即an＋1＜an，所以数列{an}为递减数列.45
