解答题增分练(一)1．(2019·温州模拟)如图，在单位圆上，∠AOB＝α，∠BOC＝，且△AOC的面积等于.(1)求sinα的值；(2)求2cossin的值．解(1)S△AOC＝×12×sin＝，∴sin＝， <α<，∴<α＋<，∴cos＝－，sinα＝sin＝sincos－cossin＝×＋×＝.(2)2cossin＝2cossin＝2cossin＝2sin2＝1－cos＝.12.如图，平面ABCD⊥平面ABE，其中ABCD为矩形，△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，AB＝2AD＝2AE＝2.(1)求证：平面ACE⊥平面BCE；(2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值．(1)证明 平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，∴BC⊥AB， BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABE，又AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，又AE⊥BE，BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE，而AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE.(2)解方法一 AB∥CD，∴CD与平面ACE所成角的大小等于AB与平面ACE所成角的大小．过B作BF⊥CE于F，连接AF， 平面ACE⊥平面BCE，平面ACE∩平面BCE＝CE，BF⊂平面BCE，∴BF⊥平面ACE.∴∠BAF即为AB与平面ACE所成的角．由BC＝1，BE＝，得CE＝2，BF＝，∴sin∠BAF＝＝，∴直线CD与平面ACE所成角的正弦值为.方法二以E为原点，EB，EA所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系E－xyz，则E(0,0,0)，A(0,1,0)，C(，0,1)，D(0,1,1)，于是EA＝(0,1,0)，EC＝(，0,1)，CD＝(－，1,0)，设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，2由得令x＝1，则n＝(1,0，－)，设CD与n的夹角为θ，所以|cosθ|＝＝，所以CD与平面ACE所成角的正弦值为.3．(2019·台州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝2an－n，n∈N*.(1)求证数列{an＋1}为等比数列，并求通项公式an；(2)若对任意的n∈N*都有λan≤Sn＋n－n2，求实数λ的取值范围．解(1)由Sn＝2an－n，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－n＋1.两式相减可得，an＝2an－1＋1，an＋1＝2(an－1＋1)，由S1＝2a1－1，得a1＝1，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2n－1(a1＋1)＝2n，an＝2n－1.(2)由λan≤Sn＋n－n2，得λ(2n－1)≤2n＋1－2－n＋n－n2，故λ≤2－，所以λ≤min.设f(n)＝，f(n＋1)－f(n)＝－＝.当n＝1时，f(2)－f(1)>0，n≥2时，f(n＋1)－f(n)<0，所以f(1)
…>f(n)…，f(n)的最大值为f(2)＝，2－的最小值为，所以λ的取值范围是.4．(2019·余高等三校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M与点F关于原点对称．(1)过点M作直线l与抛物线相切，求直线l的方程；(2)椭圆C以MF为长轴，离心率为，点P是椭圆C上的一点，过点N(p,0)的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|≤2p，求△ABP面积的最大值．解(1)显然，切线斜率一定存在．设切线方程为y＝k，联立得k2x2＋(k2－2)px＋＝0，依题意知Δ＝(k2－2)2p2－k4p2＝0，得k2＝1，即k＝±1，∴切线方程为x±y＋＝0.(2)设直线AB：x＝my＋p，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y2－2pmy－2p2＝0，3∴Δ＝4p2(m2＋2)>0恒成立，|AB|＝|y1－y2|＝2p，由|AB|≤2p⇒0≤m2≤1，依题意知椭圆C：＋＝1，作直线平行于AB且与椭圆相切，则当点P为距直线AB较远的切点时，△ABP面积最大，设切线方程为x＝my＋t(t<0)，则dP－直线AB＝，∴S△ABP＝|AB|·dP－直线AB＝p|p－t|，联立得(8＋4m2)y2＋8tmy＋4t2－p2＝0，∴Δ＝16(p2m2＋2p2－8t2)＝0，得m2＋2＝∈[2,3]，∴t∈.∴S△ABP＝|AB|·dP－直线AB＝2|pt－t2|＝2(t2－pt)，当t＝－，即m＝±1时，△ABP面积的最大值为p2.5．(2019·绍兴模拟)已知函数f(x)＝2ln(ax＋b)，其中a，b∈R.(1)若直线y＝x是曲线y＝f(x)的切线，求ab的最大值；(2)设b＝1，若关于x的方程f(x)＝a2x2＋(a2＋2a)x＋a＋1有两个不相等的实根，求a的最大整数值.解(1)设直线y＝x与y＝f(x)相切于点P(x0,2ln(ax0＋b))．因为f′(x)＝，所以f′(x0)＝＝1，所以ax0＋b＝2a(a>0)．又因为P在切线y＝x上，所以2ln(ax0＋b)＝x0，所以x0＝2ln(ax0＋b)＝2ln2a，b＝2a－ax0＝2a－2aln2a，因此ab＝2a2－2a2ln2a(a>0)．设g(a)＝2a2－2a2ln2a(a>0)，则由g′(a)＝2a－4aln2a＝2a(1－2ln2a)>0，解得0.所以g(a)在上单调递增，在上单调递减，可知g(a)的最大值为g＝，4所以ab的最大值为.(2)方法一原方程即为2ln(ax＋1)＝(ax＋1)2＋a(a...
