课时作业9二项式系数性质的应用知识点一三项展开式问题1.(x2＋3x＋2)5展开式中x项的系数是________．答案240解析(x2＋3x＋2)5＝[(x2＋3x)＋2]5＝C(x2＋3x)5＋C(x2＋3x)4·2＋C(x2＋3x)3·22＋C(x2＋3x)2·23＋C(x2＋3x)·24＋C·25，显然在(x2＋3x)n中，n>1时展开式中不含x项．∴x的系数为C·3·24＝240.知识点二多个二项式相乘问题2.(x2＋2)5的展开式的常数项是________．答案3解析(x2＋2)5＝x25＋25，对于x25的通项为Tr＋1＝x2C5－r·(－1)r＝(－1)rCx－8＋2r.令－8＋2r＝0，即r＝4，即T5＝(－1)4C＝5.对25的通项为T′r＋1＝2C5－r·(－1)r.令5－r＝0，即r＝5，T6′＝－2.∴(x2＋2)5的展开式的常数项为5－2＝3.3．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.答案120解析f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.知识点三近似计算与整除问题4.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是()A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34答案D解析(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.5．233除以9的余数是________．答案8解析233＝(23)11＝811＝(9－1)11＝C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10＋C90×(－1)11.分析易得：其展开式中C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10能被9整除，而最后一项为－1，则233除以9的余数是8.6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512015＋a能被13整除，则a＝________.答案1解析 512015＋a＝(52－1)2015＋a＝C522015－C522014＋C522013－…＋C521－1＋a，能被13整除，0≤a＜13.故－1＋a能被13整除，故a＝1.7．求证2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*)．证明原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋C·5n－2＋…＋C)＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n，1以上各项均为25的整数倍，故得证.知识点四二项式系数的应用8.已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7，(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.解(1)根据题意得：C＋C＝7，即m＋n＝7，①f(x)中的x2的系数为C＋C＝＋＝.将①变形为n＝7－m代入上式得：x2的系数为m2－7m＋21＝2＋，故当m＝3，或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3、n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；当m＝4、n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003＝2.02.(3)由题意可得a＝C＝70，再根据即求得r＝5或6，此时，b＝7×28，∴＝.9．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．(1)求a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②与①式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝.(4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.一、选择题1.3的展开式中常数项为()A．－8B．－12C．－20D．20答案C解析3＝6的展开式的通项公式为C(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，则展开式中常数项为C(－1)3＝－20.22．在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为()A．210B．120C．80D．60答案B解析在展开式中，含x4y3的项为Cx4·C·2·y3＝120x4y3，故系数为120.3．11100－1末尾连续零的个数为()A．7B．5C．4D．3答案D解析11100－1＝(10＋1)100－1＝C10100＋C1099＋…＋C10＋C－1＝10100＋C1099＋…＋C103＋C102＋1000，则末尾连续零的个数为3.故选D.4．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2015...
