模块综合检测1.已知矩阵M＝，求矩阵M的特征值与特征向量.【解】矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ＋2，令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝2，将λ1＝1代入二元一次方程组解得x＝0，所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M属于特征值2的一个特征向量为.2.已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1，1)，D′(－1，－1).(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C′的坐标.【导学号：30650064】【解】设M＝，则有＝，＝，所以解得所以M＝.(2)由＝，得C′(－3，3).由＝，得D(1，－1).3.设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵.【解】①设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P′(x′，y′).由＝＝，得又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.依题意得解得或因为a>1，所以②由①知，A＝，A2＝＝.所以|A2|＝1，(A2)－1＝.4.(江苏高考)已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.【解】设B＝，则B－1B＝＝，即＝，故解得所以B＝.因此，AB＝＝.5.曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求M的逆矩阵M－1.【解】(1)设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即代入得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，1即得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，及方程x2＋4xy＋2y2＝1，从而解得a＝2，b＝0.(2)因为M的行列式为＝1≠0，M－1＝＝.6.已知矩阵M＝，向量α＝，求M3α的值.【解】矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)×＝λ2－2λ－8＝(λ＋2)(λ－4).令f(λ)＝0，解得λ1＝4，λ2＝－2.从而求得属于特征值λ1＝4的一个特征向量为，属于λ2＝－2的一个特征向量为.令α＝＝m＋n，则m＝，n＝，即＝×＋×，所以M3α＝43××＋(－2)3××＝.7.如果曲线x2＋4xy＋3y2＝1在矩阵的作用下变换得到曲线x2－y2＝1，求a＋b.【解】在曲线x2＋4xy＋3y2＝1上任取一点P(x，y)，设点P(x，y)在矩阵的作用下变换得到点P′(x′，y′)，则＝，所以则(x＋ay)2－(bx＋y)2＝1，化简得(1－b2)x2＋2(a－b)xy＋(a2－1)y2＝1，从而解得所以a＋b＝2.8.密码学是关于信息编码和解码的理论，其中经常用到矩阵知识，首先建立如下对应关系：ABC…YZ↨↨↨↨↨123…2526取矩阵A＝.(1)将Good进行编码；(2)将93，36，60，21恢复成原来的信息.【解】(1)Good的编码为7，15，15，4.(2)∵det(A)＝5×1－3×2＝－1，∴A－1＝，把接收到的密码按顺序分成两组并写成列向量，可得A－1＝＝，A－1＝＝.∴密码恢复成编码15，6，3，15，即得到原来的信息OFCO.9.已知矩阵M＝，β＝.(1)求M的特征值和特征向量；(2)计算M4β，M10β，M100β；(3)从第(2)小题的计算中，你发现了什么？【导学号：30650065】【解】(1)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2).令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.∴属于λ1＝1的一个特征向量α1＝，属于λ2＝2的一个特征向量α2＝.2(2)令β＝mα1＋nα2，则有m＋n＝，∴m＝2，n＝1，即β＝2α1＋α2.∴M4β＝M4(2α1＋α2)＝2M4α1＋M4α2＝2λα1＋λα2＝2×14×＋24×＝，同理可得M10β＝，M100β＝.(3)当n→＋∞时，可近似认为Mnβ＝Mn(2α1＋α2)≈Mnα2＝2n＝.10.自然界生物种群的成长受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等.因此，它们和周边环境是一种既相生，又相克的生存关系.但是如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，并有关系式其中a1＝1，b1＝7，试分析10个时段后，这两个种群的数量变化趋势.【解】由题意知＝，令M＝，则f(λ)＝＝(λ－1)(λ－4).令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，对应的一个特征向量分别为，.设α＝＝，则α＝3＋(－2)，则M10α＝3×410×＋(－2)×110×＝≈.照此发展下去，两个种群的数量趋于均衡.3
