第二章函数与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空集合对应法则f：A→B如果按照某种确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则．(3)相同函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相同，这是判断两函数相同的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验]1．(教材习题改编)下列五个对应f，不是从集合A到集合B的函数的是________(填序号)．①A＝，B＝{－6，－3,1}，f＝－6，f(1)＝－3，f＝1；②A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；③A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1；④A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1；⑤A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.解析：根据函数定义，即看是否是从非空数集A到非空数集B的映射．③中集合A中的元素3在集合B中无元素与之对应，故不是A到B的函数．其他均满足．答案：③2．(教材习题改编)若f(x)＝x－x2，则f＝________.1解析：f＝－2＝.答案：3．(教材习题改编)用长为30cm的铁丝围成矩形，若将矩形面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数，则函数解析式为________，其函数定义域为________．解析：矩形的另一条边长为15－x，且x>0,15－x>0.故S＝x(15－x)，定义域为(0,15)．答案：S＝x(15－x)(0,15)4．函数f(x)＝的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，若A，B不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成．[小题纠偏]1．函数y＝与函数y＝________(填“是”或“不是”)同一函数．解析：函数y＝的定义域为[0，＋∞)，y＝的定义域为(0，＋∞)．因为两个函数的定义域不同，所以不表示同一函数．答案：不是2．函数f(x)＝·的定义域为________．解析：由题意，得所以x≥1，所以函数f(x)的定义域是[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)3．一个面积为100的等腰梯形，上底长为x，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为______________________________________________________________．解析：由·y＝100，得2xy＝100，所以y＝(x>0)．答案：y＝(x>0)4．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋.∴f(x)＝(x≠0)．答案：(x≠0)[命题分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；2(3)已知定义域确定参数问题．[题点全练]角度一：求给定函数解析式的定义域1．(2016·南师附中月考)y＝－log2(4－x2)的定义域是________．解析：要使函数有意义，必须∴x∈(－2,0)∪[1,2)．答案：(－2,0)∪[1,2)2．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为____________________．解析：由⇒⇒0＜x≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2016]，则函数g(x)＝的定义域是________．解析：令t＝x＋1，...
