高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修2－1VIP专享VIP免费

高二数学选修2－1第三章第3节双曲线北师大版（理）【本讲教育信息】一.教学内容：双曲线的标准方程及简单的几何性质。（3.1双曲线及标准方程+3.2双曲线的简单的几何性质）二.教学目标：（1）熟练地掌握双曲线的定义及标准方程的形式。会求双曲线标准方程。（2）掌握双曲线的简单的几何性质及其应用。理解渐近线的意义。（3）体会用方程的数学思想、等价转化的数学思想及待定系数法等数学思想方法解决双曲线的问题。三.知识要点分析：1.双曲线定义：第一定义：平面内到两定点21,FF距离之差的绝对值等于常数（小于||21FF）的点的集合叫做双曲线。定点21,FF叫双曲线的焦点，两焦点间距离是焦距。M=|}FF|a2,a2||PF||PF|||P{2121第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线L的距离之比是大于1的常数的点的集合叫双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。M=}1,|||{eedPFP注意：（1）在第一定义中：若2a=||21FF，则点的集合是以21,FF为端点的射线，若2a>||21FF，点的集合是空集。（2）在第一定义中：当aPFPF2||||21，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当aPFPF2||||12，点的集合是双曲线的左支（如图2）。（3）在定义二中定点F不在定直线L上。2.双曲线的标准方程（1）)0,0(,12222babyax，焦点在x轴上（实轴在x轴上），222cba（2）)0,0(,12222babxay，焦点在y轴上（实轴在y轴上），222cba3.双曲线几何性质1图形对称性关于x轴、y轴、原点对称范围ax或axay或ay顶点A1（－a，0）A2（a，0）实轴：2a，虚轴：2bA1（0，－a）A2（0，a）实轴：2a虚轴：2b离心率1ace（e：确定双曲线的开口程度）渐近线xabyxbay焦点半径（1）P（),00yx点在右支上，则01||exaPF，02||exaPF（2）P),(00yx点在左支上，则aexPFaexPF0201||,||（1）),(00yxP点在上支上0201||,||eyaPFeyaPF（2）P),(00yx点在下支上aeyPFaeyPF0201||||，4．求双曲线标准方程常见的类型及方法：（1）定义法（已知条件满足双曲线定义）（2）待定系数法（定位：确定双曲线的焦点位置，设方程：根据焦点位置设方程，定值：确定系数）（3）已知渐进线方程0aybx，可设双曲线方程是2222yaxb，确定值即可。（4）不能确定双曲线的焦点位置时。可设方程为：)0(,122mnnymx（5）与双曲线)0,0(,12222babyax共焦点的双曲线方程设为：)(,1222222akbkbykax5.几种特殊的双曲线（1）等轴双曲线：222ayx，（等轴双曲线离心率是2）（2）共扼双曲线：1122222222byaxbyax与互为共轭双曲线。（性质：（1）互为共轭双曲线的四个焦点共圆，（2）离心率倒数平方和等于1，（3）有相同的渐近线）6.双曲线中的基本三角形：（1）如图3：,tan,||,||,|OA|abAOBbABcOBaAOB中，AOBecos12（2）焦点三角形21PFF的面积：2cot2bS，（21PFF）【典型例题】考点（一）双曲线的定义例1：设14,2221yxFF是双曲线上的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：90PFF21，求SPFF的面积21。思路分析：利用双曲线的第一定义及勾股定理求的值。|PF||PF|21解：由双曲线的方程知：a=2，b=1，5c，且双曲线的焦点在x轴上，利用定义：16|PF||PF|2|PF||PF|4a2||PF||PF||21222121又20)52(|PF||PF|90PFF22221212|PF||PF|21故1|PF||PF|21S21。考点二：双曲线的标准方程例2.（1）在三角形ABC中：设,sin21sinsin)0,4()0,4(CBABA若求顶点C的轨迹方程。（2）求中心在原点，两条对称轴都是坐标轴。并且过)415,3(P，)5,316(Q两点的双曲线方程。（3）求与双曲线13422yx有相同的渐近线，且过点M（3，－2）的双曲线的方程。思路分析：（1）利用双曲线的定义求。（2）设双曲线的方程为)0(,122mnnymx（3）设所求的双曲线方程为3422yx，确定的值。解：（1）设C（x，y），由正弦定理得：|,|21||||ABCACB即4||||CACB即C点与B，A两点的距离之差是4，且小于两定点A，B的距离。故C点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的...