9-8-1圆锥曲线的综合问题课时作业A组——基础对点练1．已知边长为8的正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线C：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线C的方程．(2)已知圆过定点D(0，2)，圆心M在抛物线C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求＋的最大值．【解析】(1)由题意可得此正三角形的另外两个顶点为(±4，12)，代入抛物线方程可得(±4)2＝2p×12，解得p＝2.∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设M(a，b)，则a2＝4b.半径R＝|MD|＝，可得⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.令y＝0，可得x2－2ax＋4b－4＝0，∴x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a±2.不妨设A(a－2，0)，B(a＋2，0)．∴l1＝，l2＝，∴＋＝＝＝2＝2，(*)当a≠0时，由(*)得，＋＝2≤2＝2.当且仅当a2＝，即a＝±2时取等号．当a＝0时，＋＝2.综上可知，＋的最大值为2.2．设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程．(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．【解析】(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.(2)联立方程得4x2＋2mx＋m2－4＝0，由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－2b>0)，F1，F2是其左右焦点，A1，A2为其左右顶点，B1，B2为其上下顶点，若∠B1F2O＝，|F1A1|＝2－(1)求椭圆C的方程．(2)过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)，l与l1，l2交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.【解析】(1)由题设知解得a＝2，b＝1，c＝.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知，l1：x＝－2，l2：x＝2l与C的方程联立消y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0∵l与C相切∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝0得m2－4k2＝1l与l1，l2联立得M(－2，－2k＋m)，N(2,2k＋m)又F1(－，0)，F2(，0)∴kMF1·kNF1＝·＝＝－1∴MF1⊥NF1，即∠MF1N＝.同理可得∠MF2N＝，∴∠MF1N＝∠MF2N.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．【解析】(1)∵双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率e＝＝.又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为(2，0)，即a＝2，c＝，b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故·＝＝k2⇒－＋m2＝0.由m≠0得k2＝，解得k＝±.又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，得0
