高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法自主练习 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),验证n=1时等式的左边为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3思路解析：当n=1时，左边=1+a+a2.答案:C2.用数学归纳法证明不等式(n≥2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项B.增加了两项C.增加了B中的两项但减少了一项1k+1D.以上均不正确思路解析：在n=k+1时，用k+1替换n,再与n=k时比较.答案:C3.用数学归纳法证明“＜n(n∈N*且n＞1)”时，由n=k(k＞1)不等式成立,推证n=k+1时，左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1思路解析：增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案:C4.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)与f(n)之间的关系为__________.思路解析：设凸n+1边形为A1A2……AnAn+1,连结A1An,则凸n+1边形的对角线是由凸边形A1A2…An的对角线再加A1An,以及从An+1点出发的n-2条对角线,即f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1.答案:f(n+1)=f(n)+n-15.已知数列{an}是首项为a1公比为q的等比数列(1)求和:=____________;=_____________.(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论为__________________________.思路解析：(1),1.(2)归纳猜想：左边结构为,右边为a1(1-q)n.答案:(1)a1(1-q)2a1(1-q)3(2)=a1(1-q)n6.已知:数列{an}的通项公式an=,数列{bn}的通项公式满足bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an).求证：bn=.思路分析：本题可用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时,b1=1-a1==-3.而=-3,∴等式成立.(2)假设当n=k时成立,即bk=,则当n=k+1时,bk+1=(1-a1)(1-a2)…(1-ak)(1-ak+1)=bk(1-ak+1)=∴当n=k+1时，命题成立.由(1)(2)可知，当n为任意正整数时,bn=都成立.我综合我发展7.已知x＞-1且x≠0,n∈N*,且n≥2,求证：(1+x)n＞1+nx.思路分析：本题为与自然数n有关的不等式,可用数学归纳法证明；在证明时可结合不等式的性质加以变形.证明：(1)当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2,∵x≠0,∴1+2x+x2＞1+2x,∴左边＞右边，不等式成立.(2)假设当n=k时，不等式成立，即(1+x)k＞1+kx成立，则当n=k+1时，左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x).∵x＞-1,∴1+x＞0.∴(1+x)k(1+x)＞(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2.∵x≠0,∴1+(k+1)x+kx2＞1+(k+1)x.∴(1+x)k+1＞1+(k+1)x成立,2即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n≥2都成立.8.设n∈N*，证明4×6n+5n+1除以20的余数为9.思路分析：本题研究余数问题实质上是20的倍数再加9.也可看作是4×6n+5n+1-9被20整除整除性问题可用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时，4×61+52=24+25=49=2×20+9命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即4×6k+5k+1被20除余9，即4×6k+5k+1-9被20整除,则当n=k+1时，4×6k+1+5k+2-9=6×(4×6k+5k+1-9)-6×5k+1+5k+2+45=6×(4×6k+5k+1-9)+45-5k+1.∵6×(4×6k+5k+1-9)被20整除,只需证45-5k+1被20整除.①当n=1时,451-51+1=45-25=20被20整除成立;②假设当n=k时成立,即45-5k+1被20整除，则当n=k+1时，45-5k+2=(45-5k+1)×5-180能被20整除，∴当n=k+1时成立.∴45-5k+1都能被20整除.∴当n=k+1时原命题成立.由(1)(2)可知命题成立.9.已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=100.(1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{an}的通项an=lg(1+),记Sn为{an}的前n项和,试比较Sn与的大小，并证明你的结论.思路分析：本题为综合性问题，在比较Sn与的大小时，不易比较,可通过观察、归纳、猜想证明解答.解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得(2)由bn=2n-1，知Sn=lg(1+1)+lg(1+)+…+lg(1+)=lg［(1+1)(1+)(1+)…(1+)］,.∴要比较Sn与的大小，可先比较(1+1)(1+)(1+)…(1+)与的大小.取n=1、2、3时，得出(1+1)(1+)…(1+)＞①成立，于是猜想①式恒成立，下面给出证明：(i)当n=1时，左边=1+1=2＞,∴不等式成立.(ii)假设当n=k时不等式成立,即3(1+1)(1+)……(1+)＞成立,则当n=k+1时,左边=(1+1)(1+)…＞=.∴当n=k+1时，不等式成立.由(i)(ii)得不等式恒成立，∴Sn＞恒成立.4