2016-2017学年高中数学第3章导数应用1.2函数的极值课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内有图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：函数在极小值点附近的图像应有先减后增的特点，因此根据导函数的图像，应该在导函数的图像上找从x轴下方变为x轴上方的点，这样的点只有1个，所以函数只有1个极小值点．答案：A2．函数y＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为()A．0B．1C．2D．4解析：y′＝3x2－3，令y′＝0，即3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1.当x∈(－∞，－1)时，y′＞0；当x∈(－1,1)时，y′＜0；当x∈(1，＋∞)时，y′＞0；∴函数在x＝－1处取得极大值，m＝f(－1)＝2，在x＝1处取得极小值，n＝f(1)＝－2，∴m＋n＝2＋(－2)＝0，故选A.答案：A3．已知函数y＝ax3－15x2＋36x－24在x＝3处有极值，则函数的递减区间为()A．(－∞，1)，(5，＋∞)B．(1,5)C．(2,3)D．(－∞，2)，(3，＋∞)解析：y′＝3ax2－30x＋36当x＝3时，y′＝27a－90＋36＝0∴a＝2，∴y′＝6x2－30x＋36令y′＜0得2＜x＜3.∴函数的递减区间是(2,3)．答案：C4．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a＞－3B．a＜－3C．a＞－D．a＜－解析：y′＝aeax＋3，令y′＝0得x＝，即为极值点．由题意得＞0，所以a＜－3，故选B.答案：B1二、填空题5．函数y＝cos2x在(0，π)内的极________值是___________．解析：y′＝－2sin2x，令y′＝0，∵0＜x＜π，∴x＝，又0＜x＜时，y′＜0；＜x＜π时，y′＞0∴当x＝时，y取极小值－1.答案：小－16．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．∵y＝f(x)既有极大值又有极小值，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0.解得a＞2或a＜－1.答案：a＞2或a＜－1三、解答题7．已知函数f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m为常数，且m＞0)有极大值9.(1)求m的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y＝f(x)的切线，求此直线方程．解析：(1)f′(x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m)＝0，则x＝－m或x＝m，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－m)－mmf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x3＋2x2－4x＋1，依题意知f′(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.又f(－1)＝6，f＝，所以切线方程为y－6＝－5(x＋1)，或y－＝－5，即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.8．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．解析：(1)方法一：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x＝±1是函数的极值点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知2又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.方法二：由f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①3a－2b＋c＝0，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.(2)由(1)知f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1
