专题3.2利用导数研究函数的极值与最值基础巩固题组一、填空题1．下列函数：①y＝x3；②y＝ln(－x)；③y＝xe－x；④y＝x＋.其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号)．【答案】④【解析】由题意可知，②，③中的函数不是奇函数，①中，函数y＝x3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值．2．(2017·海门中学适应性训练)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.【答案】53．(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．【答案】2【解析】当x>0时，f(x)＝－2x<0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－10，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．【答案】9【解析】f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，又a>0，b>0，则t＝ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.【答案】1【解析】由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当00；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)17．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是________(填序号)．【答案】④【解析】因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；④中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)【解析】 y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. 函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.二、解答题9．已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．210．(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．解(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)极小值①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt.②当00，b<0，c>0，d>0；②a>0，b<0，c<0，d>0；③a<0，b<0，c>0，d>0；④a>0，b>0，c>0，d<0.其中，结论成立的是________(填序号)．【答案】①【解析】由函数y＝f(x)的图象知，a>0，f(0)＝d>0.又x1，x2是函数f(x)的极值点，且f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，∴x1，x2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由图象知，x1>0，x2>0∴因此b<0，且c>0.13．(2017·镇江期末)若函数f(x)＝－2x3＋2tx2＋1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为________．【答案】14．(2017·苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面...
