课时分层作业(二十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A.B.C.D.D[由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l、a为异面直线，则所成角的最大值为.]2．正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A.B.C.D.C[取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝.]3．如图所示，在正四棱锥PABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为()A.B.C.D.D[设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sinθ＝，即θ＝.]二、填空题4．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．[解析]以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.[答案]5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．[解析]以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)．所以AD1＝(－1,0,1)，AE＝.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝.[答案]16．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉＝________.[解析]建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，∴sin〈CM，D1N〉＝.[答案]7.如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角ABCD的大小为________．[解析]二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.AD＝AB＋BC＋CD，而AD2＝\o(AB2＋\o(CD2＋\o(BC2－2|AB|·|CD|·cos〈AB，CD〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈AB，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为.[答案]8．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．[解析] OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|OC|cos－|OA|·|OB|·cos＝|OA|(|OC|－|OB|)＝0.∴cos〈OA，BC〉＝＝0.[答案]0三、解答题9.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．[解](1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD.因为PG＝GD，所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故BC＝，CP＝，CD＝.设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，则2解得即n1＝.设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，则解得即n2＝.从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝.10．如图，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中点，EA＝DA＝AB＝2CB.(1)求证：DM⊥EB；(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；(3)求二面角MBDA的余弦值．[解]以直线AE，AB，AD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设CB＝a，则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，所以M，(1)证明：DM＝，EB＝(－2a,2a,0)，∴DM·EB＝a·(－2a)＋a·2a＋0＝0，∴DM⊥EB，即DM⊥EB.(2)AB＝(0,2a,0)，CE＝(2a，－2a，－a)，设异面直线AB与CE所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为....
