1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换课后篇巩固探究A组1.在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的6倍,则圆x2+y2=36进行伸缩变换后的图形是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:B2.已知一椭圆的方程为=1,如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍,那么该椭圆的形状为()解析:如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,那么该椭圆的形状为选项D中所示.答案:D3.在平面直角坐标系中,如果x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的倍,那么一条线段经过变换后的图形是()A.直线B.射线C.与原来长度相同的线段D.比原来长度短的线段答案:D14.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=cos2x经过伸缩变换后为()A.y=cosxB.y=3cosxC.y=2cosxD.y=cos3x解析:由代入y=cos2x,得cosx'.∴y'=cosx',即曲线y=cosx.答案:A5.导学号73144005若点P(-2016,2017)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=()A.1B.-1C.2016D.-2016解析:∵P(-2016,2017),∴x=-2016,y=2017,∴代入y'=,得k=x'y'=-1.答案:B6.将圆x2+y2=1经过伸缩变换后所得的曲线方程为.2解析:由代入x2+y2=1中,得=1.所以变换后所得的曲线方程为=1.答案:=17.x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,以原点为圆心,4为半径的圆的图形变为.解析:如果x轴的单位长度不变,y轴的单位长度缩小为原来的,圆x2+y2=16的图形变为中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆.答案:椭圆8.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线+4y'2=1,求曲线C的方程并画出图像.解把代入+4y'2=1中,得+4×y2=1,即x2+y2=4.其图像如图所示.9.求4x2-9y2=1经过伸缩变换后的图形所对应的方程.3解由伸缩变换将其代入4x2-9y2=1,得4·-9·=1.整理得x'2-y'2=1.故经过伸缩变换后图形所对应的方程为x'2-y'2=1.B组1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是()A.正方形B.矩形C.菱形D.正方形、菱形或矩形解析:正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是由其在平面直角坐标轴上的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则是菱形或正方形;若顶点在象限内,则是矩形或正方形.答案:D2.将一个圆作伸缩变换后,所得图形不可能是()A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析:将圆作伸缩变换,若保持一轴不变,另一轴压缩或伸长,则都会出现椭圆的形状,故选项A正确;当两轴同时放大或缩小时,会得到比原来大或小的圆,故选项B,C正确.故选D.答案:D3.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的,得到的曲线方程为()A.F=0B.F=0C.F=0D.F=0解析:设变换后得到的曲线上任一点为P'(x',y'),原曲线上的对应点为P(x,y),由题意知代入F(x,y)=0,得F=0,即F=0.答案:A44.如图,在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,8),B(-16,0),C(-8,0),则△ABC的面积为.答案:325.在平面直角坐标系中,在伸缩变换φ:的作用下仍是其本身的点为.解析:设点P(x,y)在伸缩变换φ:的作用下得到点P'(λx,μy),依题意得其中λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1,故x=y=0,即P(0,0)为所求.答案:(0,0)6.圆C:x2+y2=4沿着y轴均匀压缩,压缩系数为.(1)求压缩后的曲线方程.(2)将过圆C上一点P()的切线压缩后得到的直线与压缩后的曲线有何关系?解设圆上一点P(x,y),压缩后的点为P'(x',y'),则(1)由x2+y2=4,得x'2+4y'2=4,则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.(2)∵点P()满足()2+()2=4,∴点P在圆上.故过点P的切线方程为x+y=4,压缩后变为x'+×2y'=4,即x'+2y'=2,5即压缩后的方程为x+2y=2.故联立得x2-2x+2=0,则Δ=8-4×2=0,故直线x+2y=2与曲线x2+4y2=4相切.7.导学号73144006在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.(1)曲线y=2sin变换为正弦曲线y=sinx;(2)圆x2+y2=1变换为椭圆=1.解(1)将变换后的曲线的方程y=sinx改写成y'=sinx',设伸缩变换为代入y'=sinx'得μy=sinλx,即y=sinλx,与原曲线方程比较系数得所以所以伸缩变换为即先使曲线y=2sin的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的,得到曲线y=2sin=2sinx,再将其纵坐标缩短到原来的,得到正弦曲线y=sinx.6(2)将变换后的椭圆方程=1改写为=1,设伸缩变换为代入上式得=1,即x2+y2=1.与x2+y2=1比较系数得所以所以伸缩变换为即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍,得到椭圆=1.7
