第5章数列第4节数列求和1．（2014山东，12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1.当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.所以Tn＝2．（2014浙江，14分）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.(1)求an与bn；(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.①求Sn；②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn.解：(1)由题意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，知a3＝()b3－b2＝8.又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)．所以a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*)．(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，所以Sn＝＋＋…＋－＝1－－＝－(n∈N*)．②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0；当n≥5时，cn＝，而－＝>0，得≤<1，所以，当n≥5时，cn<0.综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.3．（2014江西，12分）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)，满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2.所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，所以Sn＝(n－1)3n＋1.4．（2014四川，12分）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.解：(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋.因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以Tn＝.5．（2013福建，5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmm解析：本题考查等比数列的定义与通项公式、等差数列前n项和的公式等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、公式应用能力和运算求解能力．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，因为＝＝qm2，所以数列{cn}为等比数列，公比为qm2.答案：C6．（2013重庆，5分）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.解析：本题考查等差、等比数列的基本量运算，意在考查考生的基本运算能力．因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.答案：647．（2013江苏，16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)；(2)若{bn}是等差...
