3.2双曲线的简单性质1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()A.2B.2C.4D.4解析:双曲线方程可变形为=1,所以a2=4,a=2,2a=4,故选C.答案:C2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程3x±2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1解析:双曲线=1的渐近线方程为3x±ay=0,与已知方程比较系数得a=2.答案:C3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()A.B.C.D.解析:,∴e=.答案:D4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是=1.故选A.答案:A5.设P是双曲线=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|等于()A.1或5B.6C.7D.9解析:由渐近线的方程为y=x,b=3,得a=2.由双曲线的定义,有||PF2|-|PF1||=4.∴|PF2|=7或|PF2|=-1(舍去).答案:C6.设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0解析:如图所示,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|.又 |PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,∴,∴渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.答案:C7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程是.解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4.又c2=a2+b2,解得c=5,b=4,所以双曲线的标准方程是=1.答案:=18.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的方程是.解析:由题意,得c==3,由此解得b=3,a=1,故所求双曲线的方程是x2-=1.答案:x2-=119.已知双曲线=1的离心率为2,焦点与椭圆=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:椭圆=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线=1中,c=4,e=2,∴a=2.∴b=2.∴渐近线方程为x±y=0.答案:(±4,0)x±y=010.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12,离心率为;(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x;(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.解:(1)设双曲线的标准方程为=1或=1(a>0,b>0).由题意,知2b=12,,且c2=a2+b2,∴b=6,c=10,a=8.∴双曲线的标准方程为=1或=1.(2)设以y=±x为渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0).当λ>0时,a2=4λ,∴2a=2=6.∴λ=.当λ<0时,a2=-9λ,∴2a=2=6.∴λ=-1.∴双曲线的方程为=1或=1.(3)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k(k≠0).将点M(2,-2)的坐标代入,得k=-(-2)2=-2.∴双曲线的标准方程为=1.11.设双曲线=1的焦点分别为F1,F2,离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1,l2的方程;(2)设A,B分别为l1,l2上的动点,且2|AB|=5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.解:(1)由双曲线的离心率e==2,解得a2=1,所以双曲线的方程为y2-=1,所以双曲线的渐近线方程为x±y=0.(2)因为|F1F2|=2=4,2|AB|=5|F1F2|,所以|AB|=10.又因为A,B分别为l1,l2上的动点,设A(y1,y1),B(-y2,y2),所以|AB|==10①.设AB的中点为M(x,y),则x=,y=.所以y1-y2=x,y1+y2=2y.代入①,得12y2+x2=100,即=1为中点M的轨迹方程.中点M的轨迹是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆.12.过双曲线=1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.(1)求|AB|;(2)求△AOB的面积;(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.(1)解:由双曲线的方程得a=,b=,∴c==3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=(x-3).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0,∴x1+x2=-,x1x2=-,∴|AB|=|x1-x2|=·=.(2)解:直线AB的方程变形为x-y-3=0.∴原点O到直线AB的距离为d=.∴S△AOB=|AB|·d=.(3)证明:由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,而直线AB的斜率为,故点A,B不可能同在右支上,假设点A在双曲线左支上,点B在双曲线...
