专题2.11函数与方程一、填空题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为________．【答案】0，－【解析】由已知得b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－.2．(2017·苏州期末)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是________．【答案】1【解析】因为函数y＝2x，y＝x3在R上均为增函数，故函数f(x)＝2x＋x3－2在R上为增函数，又f(0)＜0，f(2)＞0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内只有一个零点．3．函数f(x)＝|x|－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．【答案】(0，＋∞)4．(2017·徐州月考)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪【解析】当a＝0时，f(x)＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，所以f(－1)·f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞.5．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的取值为________．【答案】0或－【解析】当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．6．函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.【答案】2【解析】求函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2＜lne＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.7．函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________．【答案】218．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】(0,1)【解析】画出f(x)＝的图象，如图．由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0,1)．二、解答题9．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．210．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．解由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⇒即－0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图象．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.14．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．4综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).5
