第1课时等差数列的前n项和及其性质A级基础巩固一、选择题1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于(A)A．3B．4C．5D．6[解析]S3＝3a1＋d＝9，又 a1＝1，∴d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.2．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于(A)A．－n2＋B．－n2－C．n2＋D．n2－[解析]易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A．3．(2018·全国卷Ⅰ理，4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(B)A．－12B．－10C．10D．12[解析]3＝2a1＋d＋4a1＋×d⇒9a1＋9d＝6a1＋7d⇒3a1＋2d＝0⇒6＋2d＝0⇒d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.4．(2019·全国Ⅰ理，9)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(A)A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝n2－2n[解析]设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A．5．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为(B)A．2B．3C．4D．5[解析]依题意，有－10＝×(n＋2)，解得n＝3.6．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是(B)A．14斤B．15斤C．16斤D．18斤[解析]由题意可知等差数列中a1＝4，a5＝2，则S5＝＝＝15，1∴金杖重15斤．故选B．二、填空题7．(2019·山东荣成六中高二月考)若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__13__项．[解析]设这个等差数列为{an}，由题意得，①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.∴Sn＝＝30n＝390，∴n＝13.8．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝__－15__.[解析]由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9， an<0，∴a3＋a8＝－3.∴S10＝＝＝＝－15.三、解答题9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：(1)数列{an}的首项a1和公差d；(2)数列{an}的前10项和S10的值．[解析](1)根据题意，得，解得.(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)＝－10.10．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求数列的前n项和Tn.[解析]设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d. S7＝7，S15＝75，∴，即，解得a1＝－2，d＝1.∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)， －＝，∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n.B级素养提升一、选择题1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是(C)A．S7B．S8C．S13D．S15[解析] a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝＝13a7为常数．2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(A)A．B．C．D．[解析]据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，2∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，∴＝＝.3．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是(B)A．3B．－3C．－2D．－1[解析]由得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是(C)A．12B．13C．14D．15[解析]S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝＋n≤120，∴n(n＋3)≤240，∴n＝14.故选C．二、填空题5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝__100__.[解析] OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线，∴a1＋a200＝1，∴S200＝＝100.6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于__14__.[解析]对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；...
