课下能力提升(三)[学业水平达标练]题组1利用导数公式求函数的导数1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．32．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于()A.B.C.D.题组2利用导数的运算法则求导数3．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx4．函数y＝的导数为________．5．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝.题组3利用导数研究曲线的切线问题7．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．8．若曲线f(x)＝x·sinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．9．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．[能力提升综合练]1．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx2．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.13．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B.C．－D.4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为()A．1B．±1C．－1D．－25．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f＝________．6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．7．已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．9．已知两条直线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．答案题组1利用导数公式求函数的导数1．解析：选B因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sin＝，而′＝0，所以②错误.′＝＝＝，所以③错误.′＝－＝＝x－＝，所以④正确．2．解析：选D f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.∴f′(1)＝α＝.题组2利用导数的运算法则求导数3．解析：选By′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.4．解析：y′＝′＝＝＝.答案：25．解析：f′(x)＝a＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：36．解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋.(3)y′＝′＝＝＝.题组3利用导数研究曲线的切线问题7．解析：y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.答案：y＝3x＋18．解析：因为f′(x)＝sinx＋xcosx，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.答案：29．解析： f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． 切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：110．解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2，1)．[能力提升综合练]1．解析：选C因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2017(x)＝f1(x)＝cosx.2．解析：选A因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．3．解析：选By′＝＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．4．解析：选A设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax...
