选修1-13.3.3导数的实际应用一、选择题1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A．()3πB．()3πC．()3πD.()3π[答案]A[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3(00，∴r＝是其唯一的极值点．当r＝时，V取得最大值，最大值为()3π.2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为()A．2πr2B．πr2C．4πrD.πr2[答案]A[解析]设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则由组合体的知识得h2＋(2x)2＝(2r)2，又圆柱的侧面积S＝2πx·h，∴S2＝16π2(r2x2－x4)，(S2)′＝16π2(2r2x－4x3)，由(S2)′＝0，得x＝r(x＝0舍去)，∴Smax＝2πr2，故选A.3．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B.C.D．2[答案]C[解析]设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin60°·l，∴l＝，∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝x2＋，S′表＝－＝0，∴x3＝4V，即x＝.又当x∈(0，)时y′<0，x∈(，V)时，y′>0，∴当x＝时，表面积最小．4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系式R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300[答案]D[解析] 总利润P(x)＝由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.5．函数y＝(x－1)4的单调递增区间为()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)D．(4，＋∞)1[答案]B[解析] y′＝4(x－1)3，令y′>0得x>1，∴函数y＝(x－1)4的单调递增区间为(1，＋∞)，故选B.6．函数y＝x3－3ax＋6的单调递减区间是()A．(－，)B．(－∞，－)C．(，＋∞)D．以上都不对[答案]A[解析] y′＝3x2－3a＝3(x2－a)当a≤0时y′≥0恒成立，∴函数y＝x3－3ax＋6在(－∞，＋∞)上是增函数，当a>0时，令x2－a>0得x>或x<－，∴函数y＝x3－3ax＋6在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函数，令x2－a<0得－－1C．a>－D．a<－[答案]A[解析] y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a当a≥0时，y不可能有极值点，故a<0由ex＋a＝0得ex＝－a，∴x＝ln(－a)，∴x＝ln(－a)即为函数的极值点，∴ln(－a)>0，即ln(－a)>ln1.∴a<－1.8．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是()A.cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2[答案]D[解析]设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4.令S′＝x－2＝0则x＝2，所以Smin＝2.二、填空题9．有一条长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________m2.[答案]16[解析]设矩形场地的长为xm，则宽为＝(8－x)m，其面积S＝x(8－x)＝8x－x2，S′＝8－2x，令S′＝0得x＝4，∴当x＝4时，S取极大值，这个极大值就是最大值，故当矩形场地的长为4m，宽为4m时，面积取最大值16m2.10．y＝x4－2x2＋5在[－2,2]上的最大值为________．[答案]132[解析]y′＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)，令y′＝0得x＝0，x＝1，x＝－1，列表如下：x－2(－2，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2y′－0＋0－0＋y13极小值4极大值5极小值413由上表可知，函数y＝x4－2x2＋5在[－2,2]上的最大值为13.11．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为__________．[答案]8cm[解析]设截去的正方形的边长为xcm，则铁盒的底面边长为(48－2x)cm，铁盒的体积为V，由题意，得V＝x(48－2x)2(0
