课时训练19空间向量与空间角1.直线l1,l2的方向向量分别是v1,v2,若v1与v2所成的角为θ,直线l1,l2所成的角为α,则().A.α=θB.α=π-θC.cosθ=|cosα|D.cosα=|cosθ|答案:D2.已知A∈α,P∉α,,平面α的一个法向量n=,则直线PA与平面α所成的角为().A.30°B.45°C.60°D.150°答案:C解析:设直线PA与平面α所成的角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=.∴θ=60°.3.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为().A.B.C.D.答案:D解析:如图,建立坐标系,则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,∴,1.∴cos<,>=.4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为().A.60°B.90°C.105°D.75°答案:B解析:取AC的中点D,建立如图坐标系,设AB=a,则B,C1,A,B1.∴cos<,>==0.∴AB1与C1B所成的角为90°.5.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是().A.120°B.45°C.135°D.60°答案:B2解析:以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,1,-1).设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则有可取n=(1,0,1),又平面EAD的法向量为=(1,0,0),所以cosn,=,故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.6.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为().A.60°B.90°C.45°D.以上都不对答案:B解析:以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则⇒令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1),cos==-1.所以=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.7.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为边长是1的正方形,PA=2,则AB与PC的夹角的余弦值为.答案:解析:由于··()=··=1××cos45°=1,3又||=1,||=,∴cos,=.8.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角为.答案:30°解析:以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,从而=(2a,0,0),,=(a,a,0).设平面PAC的一个法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos<,n>=.所以<,n>=60°.所以直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°.9.在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值.解:如图所示,以A为原点,分别以AC,AB,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=AB=a,AC=b.连接BD,与AC交于点O,取AD的中点F,连接OF,OE,EF,AE,则A(0,0,0),C(b,0,0),B(0,a,0),,所以D(b,-a,0),P(0,0,a),所以E,O,,=(b,0,0).因为·=0,所以.因为,所以·=0,所以.因此∠EOF为平面EAC与平面ABCD所成的角.4因为cos<,>=,所以平面EAC与平面ABCD所成角的正弦值为.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M为B1C1上一点且B1M=2,点N在线段A1D上,A1D⊥AN.(1)求cos<,>;(2)求直线AD与平面ANM所成角的大小;(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的大小.解:(1)建立空间直角坐标系,如图.∵=(5,2,4),=(0,8,-4),∴·=0+16-16=0,∴.∴cos<,>=0.(2)∵A1D⊥AM,A1D⊥AN,∴A1D⊥平面ANM,∴=(0,8,-4)是平面ANM的一个法向量.又=(0,8,0),||=4,||=8,·=64,∴cos<,>=.∴直线AD与平面ANM所成角为-arccos.(3)∵平面ANM的法向量是=(0,8,-4),平面ABCD的法向量是a=(0,0,1),∴cos<,a>==-.∴平面ANM与平面ABCD所成角的大小为arccos.5
