（浙江专版）高考数学二轮专题复习 重难增分训练（五）圆锥曲线的研究性学习-人教版高三全册数学试题VIP免费

重难增分训练（五）圆锥曲线的研究性学习1．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．解：(1)已知定点A(4,0)，设圆心C(x，y)，MN线段的中点为E，由几何图象知ME＝＝4，CA2＝CM2＝ME2＋EC2⇒(x－4)2＋y2＝42＋x2⇒y2＝8x.即圆心C的轨迹方程为y2＝8x.(2)证明：点B(－1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题知y1＋y2≠0，y1y2<0，y＝8x1，y＝8x2.由x轴是∠PBQ的角平分线可得＝⇒＝⇒8(y1＋y2)＋y1y2(y2＋y1)＝0⇒8＋y1y2＝0.直线PQ方程为：y－y1＝(x－x1)⇒y－y1＝(8x－y)⇒y(y2＋y1)－y1(y2＋y1)＝8x－y⇒y(y2＋y1)＋8＝8x⇒y＝0，x＝1.所以直线PQ过定点(1,0)．2．(2018届高三·杭州市联谊校联考)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，且PF1·PF2最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝.(1)求椭圆C1的离心率e的取值范围；(2)设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2上在第一象限内的任意一点，当e取得最小值时，是否存在常数λ(λ>0)，使得∠BAF1＝λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x，y)，又F1(－c,0)，F2(c,0)，∴PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，∴PF1·PF2＝x2＋y2－c2.由＋＝1，得y2＝b2－，其中0≤x2≤a2.∴PF1·PF2＝x2＋b2－c2＝x2＋b2－c2.∴当x2＝a2时，PF1·PF2取得最大值，且(PF1·PF2)max＝b2，由题意得c2≤b2≤3c2，c2≤a2－c2≤3c2.∴≤≤，即≤e2≤，∴≤e≤.(2)当e＝时，a＝2c，b＝c.∴双曲线C2：－＝1，A(2c,0)．设B(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则－＝1.当AB⊥x轴时，x0＝2c，y0＝3c，则tan∠BF1A＝＝1，故∠BF1A＝.故∠BAF1＝＝2∠BF1A，猜想存在常数λ＝2，使得∠BAF1＝λ∠BF1A恒成立．当AB不垂直于x轴，1即x0≠2c时，tan∠BAF1＝，tan∠BF1A＝.∴tan2∠BF1A＝＝.又y＝3c2＝3(x－c2)，∴tan2∠BF1A＝＝＝tan∠BAF1.又2∠BF1A与∠BAF1同在∪内，∴2∠BF1A＝∠BAF1.综上，存在常数λ＝2，使得∠BAF1＝λ∠BF1A恒成立．3．(2017·郑州市模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|＝(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知得b＝c＝，∴a2＝b2＋c2＝4，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由(1)知，C(－2,0)，D(2,0)．由题意可设直线CM：y＝k(x＋2)，P(x1，y1)． MD⊥CD，∴M(2,4k)．由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，∴Δ＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－4)＞0.由根与系数的关系得－2x1＝，即x1＝.∴y1＝k(x1＋2)＝，∴P.设Q(x0,0)，且x0≠－2.若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，则MQ⊥DP，∴QM·DP＝0恒成立．QM＝(2－x0,4k)，DP＝.∴QM·DP＝(2－x0)·＋4k·＝0，即＝0恒成立，∴x0＝0.∴存在点Q(0,0)，使得以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点．4．(2017·四川双流中学模拟)已知动圆P与圆F1：(x＋3)2＋y2＝81，圆F2：(x－3)2＋y2＝1都内切，设圆心P的轨迹为曲线C，Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．(1)求曲线C的方程；(2)试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数．若能，求出这个常数；若不能，请说明理由．解：(1)设圆心P的坐标为(x，y)，半径为r，则∴|PF1|＋|PF2|＝8>6＝|F1F2|，∴圆心P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝8,2c＝6，∴a＝4，c＝3，b2＝a2－c2＝7，故曲线C的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x3，y3)，直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my＋3，2由可得x＝，y＝，|OQ|2＝x＋y＝＋＝，由可得(7m2＋16)y2＋42my－49＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴|MN|＝|y2－y1|＝＝＝，∴＝＝.∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为.5．首先解决如下问题，然后根据该问题...