专题10.1椭圆【三年高考】1．【2017江苏】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1F作直线1PF的垂线1l，过点2F作直线2PF的垂线2l．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线1l，2l的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【答案】（1）22143xy；（2）4737(,)77．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c．1因为椭圆E的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12ca，228ac，解得2,1ac，于是223bac，因此椭圆E的标准方程是22143xy．因为11lPF⊥，22lPF⊥，所以直线1l的斜率为001xy，直线2l的斜率为001xy，从而直线1l的方程：001(1)xyxy，①直线2l的方程：001(1)xyxy．②由①②，解得20001,xxxyy，所以20001(,)xQxy．因为点Q在椭圆上，由对称性，得20001xyy，即22001xy或22001xy．又P在椭圆E上，故2200143xy．由220022001143xyxy，解得004737,77xy；220022001143xyxy，无解．2因此点P的坐标为4737(,)77．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．2.【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系xoy中，12,FF分别是椭圆22221(0)xyabab的左右焦点，顶点B的坐标是(0,)b，连接2BF并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接1FC.（1）若点C的坐标为41(,)33，且22BF，求椭圆的方程；（2）若1FCAB，求椭圆离心率e的值.【答案】（1）2212xy；（2）12．【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,abc的两个等量关系，本题中椭圆过点341(,)33C，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,abc的方程，另外2222BFOBOFa2，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于,,abc的一个等式，题设条件是1FCAB，即11FCABkk，2ABFBbkkc，要求1FCk，必须求得C的坐标，由已知写出2BF方程，与椭圆方程联立可解得A点坐标11(,)xy，则11(,)Cxy，由此1FCk可得，代入11FCABkk可得关于,,abc的等式，再由222,cbacea可得e的方程，可求得e.试题解析：（1）由题意，2(,0)Fc，(0,)Bb，2222BFbca，又41(,)33C，∴22241()()3312b，解得1b．∴椭圆方程为2212xy．（2）直线2BF方程为1xycb，与椭圆方程22221xyab联立方程组，解得A点坐标为2322222(,)acbacac，则C点坐标为2322222(,)acbacac，133222232223FCbbackacacccac，又ABbkc，由1FCAB得323()13bbaccc，即42243bacc，∴222224()3acacc，化简得55cea．43．【2013江苏，理12】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2222=1xyab(a＞0，b＞0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若216dd，则椭圆C的离心率为__________．【答案】33【解析】设椭圆C的半焦距为c，由题意可设直线BF的方程为=1xycb，即bx＋cy－bc＝0.于是可知122bcbcdabc，22222aacbdcccc. 216dd，∴26bbcca，即26abc.∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝13.∴33e.4．【2017浙江，2】椭圆22194xy的离心率是A．133B．53C．23D．59【答案】B【解析】试题分析：94533e，选B．【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于cba,,的方程或不等式，再根据cba,,的关系消掉b得到ca,的关系式，建立关于cba,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．55.【2017课标3，理10】已知椭圆C：22221xyab，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为A．63B．33C...
