模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．sin330°＝________.【解析】sin330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－.【答案】－2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值等于________．【解析】据三角函数的定义，可知|OP|＝5，∴sinα＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－.【答案】－3．化简：＝________.【解析】原式＝＝＝－cos2【答案】－cos24.＝________.【解析】原式＝cos2－sin2＝cos＝.【答案】5．已知a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则k＝________.【解析】 a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)∴b＝(－1，k－1)又a⊥b，∴a·b＝－2＋(k－1)＝0，∴k＝3.【答案】36．过点A(－2,1)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为________．【解析】直线斜率为k＝，故直线方程为y－1＝(x＋2)，即x－3y＋5＝0.【答案】x－3y＋5＝07．函数y＝sin的值域为________．【解析】 0≤x≤，∴≤2x＋≤∴y＝sin的值域为.【答案】8.如图1，在△ABC中，E，F分别是边AC，BC的中点，D是EF的中点，设AC＝a，BC＝b，则AD＝________.(用a，b表示)图1【解析】ED＝EF＝AB＝(CB－CA)＝(－b＋a)．AE＝AC＝a，AD＝AE＋ED＝a＋(－b＋a)＝a－b.【答案】a－b19．若b＝(1,1)，且a·b＝2，(a－b)2＝3，则|a|＝________.【解析】由(a－b)2＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，则a2－2×2＋2＝3，故a2＝5，|a|＝.【答案】10．函数f(x)＝sin的单调递减区间是________．【解析】由＋2kπ＜2x－＜＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.【答案】，k∈Z11．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2,1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为________．【解析】由题意知，b－c＝(－3,1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)．依题意，得解得∴c＝(1,2)，∴b·c＝0，∴b⊥c.【答案】90°12．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】依题f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，∴f(x)图象关于直线x＝对称，即关于直线x＝对称，且－＜T＝，∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0＜ω＜12，∴ω＝.【答案】13．如图2，平面内有三个向量OA，OB，OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝2，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．图2【解析】分别延长OA，OB至OA′，OB′，连接CA′，CB′构成如图的平行四边形：注意到|OA|＝|OB|＝1，设|OA′|＝λ，|OB′|＝μ.则∠BOC＝∠OCA′＝90°，于是μ＝|OB′|＝|A′C|＝|OC|tan30°＝2，λ＝|OA′|＝＝4，故λ＋μ＝6.【答案】614．(2016·南通高一检测)已知θ∈，sinθ＋cosθ＝2sinθcosθ，则sin＝________.【解析】 sinθ＋cosθ＝2sinθcosθ，∴sin＝sin2θ，∴sin2θ＝sin.又θ∈，∴θ＋∈，2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，2∴sin＝sin＝.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知tanα＝，求的值．【解】原式＝＝＝＝＝，又 tanα＝，∴原式＝＝－3.16．(本小题满分14分)设e1，e2是正交单位向量，如果OA＝2e1＋me2，OB＝ne1－e2，OC＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．【解】以O为原点，e1，e2的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，则OA＝(2，m)，OB＝(n，－1)，OC＝(5，－1)，所以AC＝(3，－1－m)，BC＝(5－n,0)，又因为A，B，C三点在一条直线上，所以AC∥BC，所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组解得或17．(本小题满分14分)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．【解】(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，所以由此得，cosα＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1...
