第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程课后篇巩固提升基础达标练1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外解析 (3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.答案C2.已知A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x+1)2+(y-3)2=116C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116解析因为A(-4,-5),B(6,-1),所以线段AB的中点为C(1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C.答案C3.过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是()A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4解析根据圆心在直线x+y-2=0上可排除B,D.再把点B的坐标代入A,C选项中,可得C正确.答案C4.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.x+322+y2=12解析设M(x0,y0)为圆上的动点,则有x02+y02=1,设线段MA的中点为P(x,y),则x=x0+32,y=y0+02,∴x0=2x-3,y0=2y,代入x02+y02=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.答案C5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是,半径是.答案(2,-3)√26.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为.解析圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.答案x2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程是.解析由题意得A(0,3),B(-4,0),AB的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254.答案(x+2)2+y-322=2548.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:(1)点A在圆的内部;(2)点A在圆上;(3)点A在圆的外部.解(1) 点A在圆的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,即2a+5<0,解得a<-52.故a的取值范围是{a|a<-52}.(2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得a=-52.(3) 点A在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0,解得a>-52.故a的取值范围是{a|a>-52}.能力提升练1.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为()A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4解析因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.答案A2.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12解析过P可作圆的两条切线,说明点P在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m)2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD可能.答案AD3.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)解析(方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=|2a|√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.答案C4.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是.解析由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.答案55.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,√5为半径的圆的方程是.解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案(x+1)2+(y-2)2=56.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.(1)求AD边所在直线的方程;(2)求矩形ABCD外接圆的方程.解(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.又因为点T(-1,...
